Định nghĩa vectơ chỉ phương
Vectơ gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng
nếu
và giá của
song song hoặc trùng với
.
Định nghĩa vectơ pháp tuyến
Vectơ gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng
nếu
và giá của
vuông góc với
.
Định nghĩa
Cho đường thẳng đi qua
và có vectơ chỉ phương
. Phương trình tham số của
:
(
là tham số).
Ví dụ: Trong mặt phẳng , đường thẳng
đi qua
. Viết phương trình tham số đường thẳng
.
Hướng dẫn giải
Đường thẳng qua A(1; 2) và nhận
làm vectơ chỉ phương.
Vậy phương trình tham số đường thẳng :
Định nghĩa
Cho đường thẳng đi qua
và có vectơ chỉ phương
. Phương trình chính tắc của
:
Định nghĩa
Phương trình được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Ví dụ: Trong mặt phẳng , viết phương trình tổng quát đường thẳng
đi qua điểm
và vuông góc với đường thẳng
với
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Đường thẳng qua
và nhận
làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình đường thẳng :
Vậy phương trình tổng quát đường thẳng :
.
Nhận xét
Cho các đường thẳng :
và
:
.
Khi đó ta có và
lần lượt là vectơ pháp tuyến của
và
.
a) Để xét vị trí tương đối của và
trước hết ta dựa vào các vectơ
và
.
Nếu các vectơ và
không cộng tuyến thì
và
cắt nhau.
Nếu vectơ và
cộng tuyến, nghĩa là
thì
và
là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Cụ thể ta có:
cắt
khi và chỉ khi
, hơn nữa nếu
thì
.
khi và chỉ khi
.
khi và chỉ khi
.
Ví dụ: Cho các đường thẳng :
,
:
và điểm
.
a) Xét vị trí tương đối giữa các đường thẳng và
.
b) Biết là đường thẳng đi qua điểm M và tạo với các đường thẳng
,
một tam giác cân. Tính góc giữa các đường thẳng
và
.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: và
là các véc-tơ pháp tuyến của
và
.
Ta thấy và
không cùng phương vì
, từ đó suy ra
và
là các đường thẳng cắt nhau.
b) Ta có: =>
và
là các đường thẳng vuông góc với nhau.
Gọi
Khi đó tam giác là vuông tại
do đó nếu tam giác
cân thì
.
=> Góc giữa các đường thẳng và
là
.
Cho hai đường thẳng :
và
:
ta có:
Ví dụ: Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng bằng
.
Hướng dẫn giải
Theo bài ra ta có:
Cho điểm và đường thẳng
:
. Khi đó khoảng cách từ M đến đường thẳng
được tính bằng công thức:
Ví dụ: Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm và có khoảng cách đến điểm
bằng
.
Hướng dẫn giải
Giả sử đường thẳng đi qua điểm A(1;−3) có hệ số góc k. Khi đó phương trình
có dạng:
Ta có:
Vậy