Lớp 10 Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ sách CTST

A. Phương trình đường tròn

1. Phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính

Định nghĩa

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phương trình đường tròn nhận điểm I(a; b) làm tâm và có bán kính bằng R:

{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}

Ví dụ: Lập phương trình đường tròn có tâm I(3;−5) bán kính R = 2.

Hướng dẫn giải

Ta có phương trình đường tròn là:

(x−3)^2 + (y+5)^2 = 2^2

⇔ x^2 +y^2 −6x+10y+30 = 0

2. Dạng khác của phương trình đường tròn

Phương trình dạng {x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi

{a^2} + {b^2} - c > 0

Khi đó tâm là I(a; b), bán kính R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c}

Ví dụ: Xét xem các phương trình sau có là phương trình của đường tròn không? Hãy xác định tâm và bán kính của các đường tròn đó (nếu có).

a) x^2 +y^2 +2x−4y+9 = 0(1).

b) x^2 +y^2 −6x+4y+13 = 0v (2).

c) 2x^2 +2y^2 −6x−4y−1 = 0 (3).

d) 2x^2 +y^2 +2x−3y+9 = 0(4).

Hướng dẫn giải

a) Phương trình (1) có dạng x^2 +y^2 −2ax−2by+c = 0 với a = −1; b = 2; c = 9. Ta có a^2 +b^2 −c = 1+4−9 < 0.

Vậy phương trình (1) không phải là phương trình đường tròn.

b) Ta có: a^2 +b^2 −c = 9+4−13 = 0.

Suy ra phương trình (2) không phải là phương trình đường tròn.

c) Ta có:

{x^2} + {y^2} - 3x - 2y - \frac{1}{2} = 0

\Leftrightarrow {\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \frac{5}{2}

Vậy phương trình (3) là phương trình đường tròn tâm I\left( {\frac{3}{2};1} \right) bán kính R = \frac{{\sqrt {10} }}{2}.

d) Phương trình (4) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của x^2 và y^2 khác nhau

B. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2} tại điểm M\left( {{x_0};{\text{ }}{y_0}} \right) thuộc đường tròn là

\left( {{x_0} - a} \right)\left( {x - a} \right) + \left( {{y_0} - a} \right)\left( {y - a} \right) = {R^2}

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn {x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0 tại điểm M\left( {{x_0};{\text{ }}{y_0}} \right) thuộc đường tròn là

{x_0}x + {y_0}y - a\left( {{x_0} + x} \right) - b\left( {{y_0} + y} \right) + c = 0

Không dùng công thức tách đôi này, ta vẫn có thể viết được phương trình tiếp tuyến bằng cách tìm toạ đoạ độ véc-tơ pháp tuyến của tiếp tuyến này là \overrightarrow {IM} = \left( {{x_0} - a;{\text{ }}{y_0} - a} \right).

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x − 2)^2 + (y + 3)^2 = 5 tại điểm M(3;−1).

Hướng dẫn giải

Đường tròn (C) có tâm I(2;−3).

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(3;−1) là:

(3−2)(x−3) + (−1+3)(y+1) = 0

⇔x+2y−1 = 0

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(3;−1) là x+2y−1 = 0.

  • 48 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 10 CTST