Lớp 10 Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Tổng và hiệu của hai vectơ sách CTST

A. Tổng và hiệu của hai vectơ

Định nghĩa

Cho hai vectơ \overrightarrow a và \overrightarrow b. Với điểm A bất kì dựng \overrightarrow {AB} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {BC} = \overrightarrow b. Khi đó \overrightarrow {AC} được gọi là vectơ tổng của hai vectơ \overrightarrow a và \overrightarrow b.

Kí hiệu là \overrightarrow a + \overrightarrow b

Nghĩa là: \overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}

Hình vẽ minh họa

Tổng và hiệu của hai vectơ

Quy tắc ba điểm

Với ba điểm M, N, P ta có: \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {MP}

Định nghĩa

Cho hai vectơ \overrightarrow a và \overrightarrow b. Phép trừ của hai vectơ \overrightarrow a và \overrightarrow b được định nghĩa là phép cộng của và .

Kí hiệu là \overrightarrow a - \overrightarrow b = \overrightarrow a + \left( { - \overrightarrow b } \right)

Ví dụ: Cho tam giác ABC. Xác định vectơ.

a) \overrightarrow a = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC}

b) \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC}

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Tổng và hiệu của hai vectơ

a) \overrightarrow a = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}

b) \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB}

B. Quy tắc hình bình hành

Hình vẽ minh họa

Tổng và hiệu của hai vectơ

Cho ABCD là hình bình hành, ta có:

\begin{matrix} \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \hfill \\ \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \hfill \\ \end{matrix}

Chú ý

Để áp dụng quy tắc hình bình hành, ta cần đưa bài toán tìm tổng hai vectơ về bài toán tìm tổng của hai vectơ có chung điểm đầu.

Ví dụ: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right| thì tam giác đó là tam giác vuông.

Hướng dẫn giải

Dựng hình bình hành ABCD.

Tổng và hiệu của hai vectơ

Theo quy tắc hình hình hành ta có: \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD}

Theo quy tắc hiệu hai vectơ ta có: \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB}

Từ giả thiết suy ra: \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| tức là AD = BC

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật, tức ABC là tam giác vuông.

C. Tính chất của phép cộng, trừ hai vectơ

Tính chất giao hoán

\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow b + \overrightarrow a

Tính chất kết hợp

\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c = \overrightarrow a + \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)

Cộng với vectơ \overrightarrow 0

\overrightarrow a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 + \overrightarrow a = \overrightarrow a

Vectơ đối

\overrightarrow 0 = - \overrightarrow 0 \overrightarrow a - \overrightarrow b = - \left( {\overrightarrow b - \overrightarrow a } \right)
\overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {BA} \overrightarrow a + \left( { - \overrightarrow a } \right) = \overrightarrow 0

D. Tính chất vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Tính chất

Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0.

Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0.

Câu trắc nghiệm mã số: 21187,21185
  • 109 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 10 CTST