Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu sách CTST

A. Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị

Định nghĩa

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

${x_1} \leqslant {x_2} \leqslant {x_3} \leqslant ... \leqslant {x_n}$

Khoảng biến thiên của một mẫu số liệu, kí hiệu là $R$ . là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó, tức là:

$R = {x_n} - {x_1}$

Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là $\Delta Q$ , là hiệu giữa ${Q_3}$ và ${Q_1}$ , tức là:

$\Delta Q = {Q_3} - {Q_1}$

Ý nghĩa khoảng biến thiên và tứ phân vị

Khoảng biến thiên dùng để đo độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Khoảng tứ phân vị cũng là một số đo độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng tứ phân vị càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị rất lớn hoặc rất bé trong mẫu.

Ví dụ: Mẫu số liệu sau cho biết chiều cao (đơn vị cm) của các bạn trong tổ:

163

159

172

167

165

168

170

161

Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu này.

Hướng dẫn giải

Chiều cao thấp nhất, cao nhất tương ứng là 159; 172.

Do đó, khoảng biến thiên là: $R = 172 - 159 = 13$

Nhận xét

Sử dụng khoảng biến thiên có ưu điểm là đơn giản, dễ tính toán song khoảng biến thiên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất mà bỏ qua thông tin từ tất cả các giá trị khác.

=> Khoảng biến thiên rất dễ bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường.

Ví dụ: Mẫu số liệu sau cho biết số ghế trống tại một rạp chiếu phim trong 9 ngày:

Tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này.

Hướng dẫn giải

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

Mẫu số liệu gồm 9 giá trị nên trung vị là số ở vị trí chính giữa: ${Q_2} = 15$

Nửa số liệu bên trái là 7, 8, 11, 13 gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 8, 11.

$\Rightarrow {Q_1} = \frac{1}{2}.\left( {8 + 11} \right) = 9,5$

Nửa số liệu bên phải là 18, 19, 20, 22 gồm 4 giá trị, hai phần tử chính giữa là 19, 20.

$\Rightarrow {Q_3} = \frac{1}{2}.\left( {19 + 20} \right) = 19,5$

Vậy khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu là: $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 19,5 - 9,5 = 10$

B. Phương sai và độ lệch chuẩn

Với mẫu số liệu ${x_1},{x_2},{x_3},...,{x_n}$ nếu gọi số trung bình là $\overline x$ thì với mỗi giá trị ${x_i}$ , độ lệch của nó so với giá trị trung bình là ${x_i} - \overline x$ .

Định nghĩa phương sai

Phương sai của mẫu số liệu được kí hiệu là xác định bởi công thức:

${S^2} = \frac{{{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}}}{n}$

Nếu mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số thì phương sai được tính bằng công thức:

${S^2} = \frac{{{n_1}.{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}.{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_k}.{{\left( {{x_k} - \overline x } \right)}^2}}}{n}$

Phương sai hiệu chuẩn được tính bằng công thức:

${S^2} = \frac{{{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}}}{{n - 1}}$

Định nghĩa độ lệch chuẩn

Căn bậc hai của phương sai $S = \sqrt {{S^2}}$ được gọi là độ lệch chuẩn.

Ý nghĩa phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai là trung bình cộng của các bình phương độ lệch từ mỗi giá trị của mẫu số liệu đến số trung bình.
Phương sai và độ lệch chuẩn được dùng để đo mức độ phân tán của các số liệu trong mẫu quanh số trung bình
Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì các giá trị của mẫu càng cách xa nhau (có độ phân tán lớn).

Ví dụ: Cho mẫu số liệu biểu thị số học sinh của 5 lớp khối 10 của một trường THPT:

Tìm phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu đã cho.

Hướng dẫn giải

Số trung bình của số liệu: $\overline x = \frac{{43 + 45 + 46 + 41 + 40}}{5} = 43$

Ta có bảng số liệu như sau:

Giá trị	Độ lệch ${x_i} - \overline x$	Bình phương độ lệch ${\left( {{x_i} - \overline x } \right)^2}$
$43$	$43-43=0$	$0$
$45$	$45-43=2$	$4$
$46$	$46-43=3$	$9$
$41$	$41-43=-2$	$4$
$40$	$40-43=-3$	$9$
Tổng		$26$