Định nghĩa
Cho tập hợp có
phần tử
. Ta nói mỗi cách sắp xếp thứ tự của
phần tử tập hợp
là một hoán vị của
phần tử này.
Số các hoán vị của phần tử tập hợp
được kí hiệu bởi
.
Chú ý
Các hoán vị khác nhau chỉ khác nhau về thứ tự sắp xếp các phần tử. Hoán vị của 3 phần tử gồm:
Định lí
Số các hoán vị của phần tử được tính theo công thức:
Ví dụ: Một chồng sách gồm 4 quyển sách Toán khác nhau, 3 quyển sách Vật Lý khác nhau, 5
quyển sách Hóa Học khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các quyển sách trên thành một hàng ngang sao cho
a. Các quyển sách cùng môn thì đứng cạnh nhau.
b. Các quyển sách toán đứng gần nhau.
Hướng dẫn giải
a. Xếp 4 quyển sách toán thành một nhóm đứng gần nhau có cách xếp
Xếp 3 quyển sách Vật Lí thành một nhóm gần nhau có cách xếp
Xếp 5 quyển sách Hóa Học thành một nhóm gần nhau có cách xếp.
Xếp 3 nhóm sách trên lên giá sách có cách xếp.
Vậy có cách xếp các cuốn sách cùng môn thì đứng cạnh nhau.
b. Xếp 4 quyển sách toán thành một nhóm đứng gần nhau có cách xếp.
Coi nhóm sách Toán là một quyển sách lớn, xếp quyển sách lớn đó và 8 quyển sách còn lại có
cách xếp.
Vậy có cách xếp các cuốn sách Toán đứng gần nhau.
Định nghĩa
Cho tập hợp gồm
phần tử
. Kết quả của việc lấy
phần tử khác nhau từ
phần tử của tập hợp
và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập
của
phần tử đã cho.
Định lí Số các chỉnh hợp chập Chú ý
+ Chỉ chọn + Có sắp thứ tự các phần tử đã chọn. |
Ví dụ: Cho tập
a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau và mỗi số chứa chữ số 5?
b) Trong các số trên, có bao nhiêu số không chia hết cho 5?
Hướng dẫn giải
a) Một số gồm 6 chữ số phân biệt hình thành từ A có dạng , với
Để số tìm được phải có mặt chữ số 5, ta thấy: có 6 cách chọn.
Tiếp theo, mỗi bộ số dành cho năm vị trí còn lại ứng với một chỉnh hợp chập 5 của các phần tử của tập có 8 phần tử.
=> Có cách chọn.
Như vậy ta được số.
b) Trong các số trên, những số chia hết cho 5 có , tức là có
số.
Vậy số các số tìm thấy không chia hết cho 5 là số.
Định nghĩa
Cho tập hợp có
phần tử
và số nguyên
với
. Mỗi tập con có
phần tử được gọi là một tổ hợp chập
của
phần tử của
(hay một tổ hợp chập k của
). Kí hiệu là:
Định lí Số tổ hợp chập Với quy ước |
Tính chất:
Ví dụ: Có bao nhiêu cách lấy hai lá bài từ bộ bài tú lơ khơ gồm 52 lá?
Hướng dẫn giải
Mỗi cách lấy 2 con bài từ 52 con là một tổ hợp chập 2 của 52 phần tử.
Vậy số cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con là .
Với một số máy tính cầm tay, ta có thể tính toán nhanh số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.
Ví dụ
a) Đề tính , ta ấn liên tiếp các phím
thì nhận được kết quả là 40 320.
b) Để tính , ta ấn liên tiếp các phím
thì nhân được kết quả là 95040.
c) Để tính , ta ấn liên tiếp các phím
thì nhận được kêt quả là 167960.