Lớp 10 Toán 10 - Chân trời sáng tạo

Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp sách CTST

A. Hoán vị

Định nghĩa

Cho tập hợp A có n phần tử n \geqslant 1. Ta nói mỗi cách sắp xếp thứ tự của n phần tử tập hợp A là một hoán vị của n phần tử này.

Số các hoán vị của n phần tử tập hợp A được kí hiệu bởi P_n.

Chú ý

Các hoán vị khác nhau chỉ khác nhau về thứ tự sắp xếp các phần tử. Hoán vị của 3 phần tử a, b, c gồm: a,b,c;a,c,b;b,c,a;...

Định lí

Số các hoán vị của n phần tử được tính theo công thức:

{P_n} = n! = n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)....3.2.1

Ví dụ: Một chồng sách gồm 4 quyển sách Toán khác nhau, 3 quyển sách Vật Lý khác nhau, 5
quyển sách Hóa Học khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các quyển sách trên thành một hàng ngang sao cho

a. Các quyển sách cùng môn thì đứng cạnh nhau.

b. Các quyển sách toán đứng gần nhau.

Hướng dẫn giải

a. Xếp 4 quyển sách toán thành một nhóm đứng gần nhau có P_4 = 4! = 24 cách xếp

Xếp 3 quyển sách Vật Lí thành một nhóm gần nhau có P_3 = 3! = 6 cách xếp

Xếp 5 quyển sách Hóa Học thành một nhóm gần nhau có P_5 = 5! = 120 cách xếp.

Xếp 3 nhóm sách trên lên giá sách có P_3 = 3! = 6 cách xếp.

Vậy có 24.6.120.6 = 103680 cách xếp các cuốn sách cùng môn thì đứng cạnh nhau.

b. Xếp 4 quyển sách toán thành một nhóm đứng gần nhau có P_4 = 4! = 24 cách xếp.

Coi nhóm sách Toán là một quyển sách lớn, xếp quyển sách lớn đó và 8 quyển sách còn lại có

P_9 = 9! cách xếp.

Vậy có 24.9! = 8709120 cách xếp các cuốn sách Toán đứng gần nhau. 

B. Chỉnh hợp

Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử \left( {n \geqslant 1} \right). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

Định lí

Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử \left( {1 \leqslant k \leqslant n} \right) là:

A_n^k = n\left( {n - 1} \right)....\left( {n - k + 1} \right)

Chú ý

  • Với quy ước 0! = 1 ta có: A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}},\left( {1 \leqslant k \leqslant n} \right)
  • Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy {P_n} = A_n^n
  • Khi giải bài toán chọn trên một tập X có n phần tử, ta sẽ dùng chỉnh hợp nếu có hai dấu hiệu sau:

+ Chỉ chọn k phần tử của X, \left( {1 \leqslant k \leqslant n} \right).

+ Có sắp thứ tự các phần tử đã chọn.

Ví dụ: Cho tập A = \left \{ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}\right \}

a) Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau và mỗi số chứa chữ số 5?

b) Trong các số trên, có bao nhiêu số không chia hết cho 5?

Hướng dẫn giải

a) Một số gồm 6 chữ số phân biệt hình thành từ A có dạng \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}}, với \left\{ \begin{gathered} {a_i} \in A;i = \overline {1,6} \hfill \\ {a_i} \ne {a_j};i \ne j \hfill \\ \end{gathered} \right.

Để số tìm được phải có mặt chữ số 5, ta thấy: 5 \in \left\{ {{a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5};{a_6}} \right\} có 6 cách chọn.

Tiếp theo, mỗi bộ số dành cho năm vị trí còn lại ứng với một chỉnh hợp chập 5 của các phần tử của tập A \setminus \left \{ {5} \right \} có 8 phần tử.

=> Có A_8^5 cách chọn.

Như vậy ta được 6A_8^5 = 40320 số.

b) Trong các số trên, những số chia hết cho 5 có a_6 = 5, tức là có A_8^5 số.

Vậy số các số tìm thấy không chia hết cho 5 là 6A_8^5 - A_8^5 = 33600 số.

C. Tổ hợp

Định nghĩa

Cho tập hợp A có n phần tử \left( {n \geqslant 1} \right) và số nguyên k với 1 \leqslant k \leqslant n. Mỗi tập con có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (hay một tổ hợp chập k của A). Kí hiệu là: C_n^k

Định lí

Số tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử \left( {1 \leqslant k \leqslant n} \right) là:

C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...\left( {n - k + 1} \right)}}{{k!}}

Với quy ước C_1^0 = 1 thì với mọi số nguyên k thỏa mãn 0 \leqslant k \leqslant n ta có:

C_n^k = \frac{{A_n^k}}{{k!}} = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}

Tính chất: C_n^k = C_n^{n - k};\left( {0 \leqslant k \leqslant n} \right)

Ví dụ: Có bao nhiêu cách lấy hai lá bài từ bộ bài tú lơ khơ gồm 52 lá?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách lấy 2 con bài từ 52 con là một tổ hợp chập 2 của 52 phần tử.

Vậy số cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con là C_{52}^2 = 1326.

4. Tính số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp bằng máy tính cầm tay

Với một số máy tính cầm tay, ta có thể tính toán nhanh số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

Ví dụ

a) Đề tính {P_8} = 8!, ta ấn liên tiếp các phím Toán 10 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp thì nhận được kết quả là 40 320.

Toán 10 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

b) Để tính A_{12}^5, ta ấn liên tiếp các phím Toán 10 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp thì nhân được kết quả là 95040.

Toán 10 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

c) Để tính C_{20}^{11}, ta ấn liên tiếp các phím Toán 10 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp thì nhận được kêt quả là 167960.

Toán 10 Bài 2: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Câu trắc nghiệm mã số: 27419,27417,27415,27414,27410
  • 42 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 10 CTST