Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Cấp số nhân Kết nối tri thức

Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Cấp số nhân bao gồm định nghĩa, cách xác định và tính tổng các số hạng của cấp số nhân. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.

1. Định nghĩa

Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Cấp số nhân \left( {{u_n}} \right) với công bội q được cho bởi hệ thức truy hồi {u_n} = {u_{n - 1}}.q,n \geqslant 2

Ví dụ: Cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 và công sai bằng 2 là

Để chứng minh dãy số \left( {{u_n}} \right) gồm các số khác 0 là một cấp số nhân, hãy chứng minh tỉ số \frac{{{u_n}}}{{{u_{n - 1}}}} không đổi.

Ví dụ: Dãy số \left( {{u_n}} \right) có phải cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội?

a) {u_n} = 2n b) {u_n} = {4.3^n} c) {u_n} = \frac{5}{n}

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right)}}{{2n}} = \frac{1}{n} + 1 phụ thuộc vào n.

Vậy dãy số trên không phải là một cấp số nhân.

b) Ta có: \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{4.3}^{n + 1}}}}{{{{4.3}^n}}} = 3 = const.

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với công bội là 3.

c) Ta có: \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{\dfrac{5}{{n + 1}}}}{{\dfrac{5}{n}}} = \dfrac{n}{{n + 1}} phụ thuộc vào n.

Vậy dãy số đã cho không là cấp số nhân.

Câu trắc nghiệm mã số: 44666,33464,33440

2. Số hạng tổng quát

Cấp số nhân bắt đầu là phần tử {u_1} và công bội q thì số hạng thứ n của cấp số cộng được tính theo công thức:

{u_{n + 1}} = u_1.{q^n},n \geqslant 1

Tính chất

Ba số hạng {u_{n - 1}},{u_n},{u_{n + 1}} là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi {u_n}^2 = {u_{n - 1}}.{u_{n + 1}} với n \geqslant 1.

Ví dụ: Cho cấp số nhân \left( {{u_n}} \right) thỏa mãn xác định bởi công thức \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 11} \\ {{u_1} + {u_5} = \frac{{82}}{{11}}} \end{array}} \right.. Tìm công bội và số hạng tổng quát của cấp số.

Hướng dẫn giải

Từ giải thiết bài toán đã cho ta có:

\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 11} \\ {{u_1} + {u_5} = \dfrac{{82}}{{11}}} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_2} + {u_3} + {u_4} = \dfrac{{39}}{{11}}} \\ {{u_1} + {u_1}{q^4} = \dfrac{{82}}{{11}}} \end{array}} \right.} \right.

\Rightarrow \frac{{{q^4} + 1}}{{{q^3} + {q^2} + q}} = \frac{{82}}{{39}}

\Leftrightarrow \left( {q - 3} \right)\left( {3q - 1} \right)\left( {13{q^2} + 16q + 13} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {q = \dfrac{1}{3}} \\ {q = 3} \end{array}} \right.

Với q = \frac{1}{3} \Leftrightarrow {u_1} = \frac{{81}}{{11}} \Leftrightarrow {u_n} = \frac{{81}}{{11}}\frac{1}{{{3^{n - 1}}}}

Với q = 3 \Leftrightarrow {u_1} = \frac{1}{{11}} \Leftrightarrow {u_n} = \frac{{{3^{n - 1}}}}{{11}}

Câu trắc nghiệm mã số: 44610,44663,33470

3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân được tính bằng công thức:

{S_{n }} = \frac{{u_1\left( {1 - {q^{n }}} \right)}}{{1 - q}}

Chứng minh

Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân được tính bằng công thức:

\sum\limits_{k = 0}^n {a{q^k} = a{q^0} + a{q^1} + a{q^2} + a{q^3} + ... + a{q^n}} với a=u_1

Nhân cả 2 vế với: \left( {1 - q} \right)

\Leftrightarrow \left( {1 - q} \right){S_{n + 1}} = \left( {1 - q} \right)\sum\limits_{k = 0}^n {a{q^k} = a - a{q^{n + 1}}}

Vì tất cả các số hạng khác đã loại trừ lẫn nhau

\Rightarrow {S_{n + 1}} = \sum\limits_{k = 0}^n {a{q^k} = \frac{{a\left( {1 - {q^{n + 1}}} \right)}}{{1 - q}}}

Ví dụ: Cho cấp số nhân \left( {{u_n}} \right) thỏa mãn: {u_n} = {3^{\frac{n}{2} + 1}}

a) Chứng minh dãy số là cấp số nhân.

b) Tính S = {u_2} + {u_4} + {u_6}... + {u_{20}}.

c) Số 19683 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{3^{\frac{{n + 1}}{2} + 1}}}}{{{3^{\frac{n}{2} + 1}}}} = \sqrt 3 = const không phụ thuộc vào n.

Vậy dãy số \left( {{u_n}} \right) là một cấp số nhân với số hạng đầu {u_1} = 3\sqrt 3 và công bội là

b) Ta có: lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là {u_2} = 9,q = 3 và có 10 số hạng nên

\Rightarrow S = {u_2} + {u_4} + {u_6} + ... + {u_{20}}

= {u_2}\frac{{1 - {3^{10}}}}{{1 - 3}} = \frac{9}{2}\left( {{3^{10}} - 1} \right)

c) Ta có: {u_n} = 19683 \Rightarrow {3^{\frac{n}{2} + 1}} = {3^9} \Leftrightarrow n = 16

Câu trắc nghiệm mã số: 33471,33476,33582
  • 6 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 KNTT