Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Phương trình, bất phương trình mũ và Lôgarit Kết nối tri thức

Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit bao gồm định nghĩa, tính chất và cách giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.

1. Phương trình mũ

a) Định nghĩa phương trình mũ

Phương trình mũ cơ bản có dạng

{a^x} = b{\text{ }}\left( {a > 0,{\text{ }}a \ne 1} \right)

Để giải phương trình mũ, ta xét hai trường hợp sau:

  • Phương trình có một nghiệm duy nhất khi b > 0
  • Phương trình vô nghiệm khi b \leq 0

Ta minh họa bằng đồ thị sau:

  • Với a>1, ta có đồ thị sau

Phương trình, bất phương trình mũ và Lôgarit Kết nối tri thức

  • Với 0 < a < 1, ta có đồ thị sau.

Phương trình, bất phương trình mũ và Lôgarit Kết nối tri thức

b) Cách giải phương trình mũ

i) Biến đổi, quy về cùng cơ số

{a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow a = 1 hoặc \left\{ \begin{gathered} 0 < a \ne 1 \hfill \\ f\left( x \right) = g\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.

Ví dụ: Cho phương trình: {3^{{x^2} - 3x + 8}} = {9^{2{\text{x}} - 1}}. Tìm tập nghiệm của phương trình ?

Hướng dẫn giải

Ta có: {3^{{x^2} - 3x + 8}} = {9^{2{\text{x}} - 1}}

\Leftrightarrow {3^{{x^2} - 3x + 8}} = {3^{4{\text{x}} - 2}} \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 8 = 4{\text{x}} - 2

\Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 5} \\ {x = 2} \end{array}} \right.

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = \left\{ {2;5} \right\}

ii) Đặt ẩn phụ

f\left[ {{a^{g\left( x \right)}}} \right] = 0 \,\ { }{\text{ }}\left( {0 < a \ne 1} \right){\text{ }} \Leftrightarrow {\text{ }}\left\{ \begin{gathered} t = {a^{g\left( x \right)}} > 0 \hfill \\ f\left( t \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.

Ta thường gặp các dạng:

  • m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{a^{f\left( x \right)}} + p = 0
  • m.{a^{f\left( x \right)}} + n.{b^{f\left( x \right)}} + p = 0, trong đó a.b=1. Đặt t = {a^{f\left( x \right)}},{\text{ }}t > 0, suy ra {b^{f\left( x \right)}} = \frac{1}{t}.
  • m.{a^{2f\left( x \right)}} + n.{\left( {a.b} \right)^{f\left( x \right)}} + p.{b^{2f\left( x \right)}} = 0. Chia hai vế cho {b^{2f\left( x \right)}} và đặt {\left( {\frac{a}{b}} \right)^{f\left( x \right)}} = t > 0.

Ví dụ: Phương trình {3^{1 - x}} = 2 + {\left( {\frac{1}{9}} \right)^x} có bao nhiêu nghiệm âm?

Hướng dẫn giải

Phương trình tương đương với \frac{3}{{{3^x}}} = 2 + {\left( {\frac{1}{9}} \right)^x}\Leftrightarrow 3.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = 2 + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2x}}.

Đặt t = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}, t > 0.

Phương trình trở thành 3t = 2 + {t^2} \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} t = 1 \hfill \\ t = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right..

  • Với t=1, ta được {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0.
  • Với t=2, ta được {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{1}{3}}}2 = - {\log _3}2 < 0.

Vậy phương trình có một nghiệm âm.

iii) Logarit hóa

Phương trình {a^{f\left( x \right)}} = b \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 0 < a \ne 1,{\text{ }}b > 0 \hfill \\ f\left( x \right) = {\log _a}b \hfill \\ \end{gathered} \right..

Phương trình {a^{f\left( x \right)}} = {b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow {\log _a}{a^{f\left( x \right)}} = {\log _a}{b^{g\left( x \right)}}\Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right).{\log _a}b

hoặc {\log _b}{a^{f\left( x \right)}} = {\log _b}{b^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( x \right).{\log _b}a = g\left( x \right).

Ví dụ: Ta có nghiệm của phương trình 3^x=2 là x = {\log _3}2

Câu trắc nghiệm mã số: 44371,44369

2. Phương trình Lôgarit

Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng:

{\log _a}f(x) = b (a > 0,\,\,a \ne 1 )

Để giải phương trình lôgarit cơ bản, ta có:

{\log _a}f(x) = b \Leftrightarrow x =a^b

Ta minh họa bằng đồ thị như sau

  • Với a>1, ta có đồ thị sau:

Phương trình, bất phương trình mũ và Lôgarit Kết nối tri thức

  • Với 0 < a < 1, ta có đồ thị sau:

Phương trình, bất phương trình mũ và Lôgarit Kết nối tri thức

Quan sát đồ thị, ta thấy rằng:

  • Trường hợp : a>1: {\log _a}x > b khi và chỉ khi x > {a^b}
  • Trường hợp : 0 < a < 1: {\log _a}x > b khi và chỉ khi 0 < x < {a^b}.

b) Cách giải phương trình lôgarit

i) Biến đổi, quy về cùng cơ số

{\log _a}f(x) = {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} f(x) > 0 \hfill \\ f(x) = g(x) \hfill \\ \end{gathered} \right. , với mọi 0 < a \ne 1

Ví dụ: Phương trình {\log _2}(3x - 2) = 2 có nghiệm là?

Hướng dẫn giải

{\log _2}(3x - 2) = 2

\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3x - 2 > 0 \hfill \\ 3x - 2 = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x > \frac{3}{2} \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 2

Vậy phương trình có nghiệm là x=2

ii) Đặt ẩn phụ

Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình sau: \frac{1}{{4 - \lg x}} + \frac{2}{{2 + \lg x}} = 1

Hướng dẫn giải

Đặt t = \lg x

PT \Leftrightarrow \frac{1}{{4 - t}} + \frac{2}{{2 + t}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{2 + t + 2(4 - t)}}{{(4 - t)(2 + t)}} = 1

\Leftrightarrow 2 + t + 2(4 - t) = (4 - t)(2 + t)

\Leftrightarrow 10 - t = 8 + 2t - {t^2} \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0

Nhẩm nghiệm có hệ số a+b+c=1-3+2=0 nên phương trình ẩn t có 2 nghiệm là 1 và 2.

Suy ra 1 = \lg x hoặc 2 = \lg x.

Do đó phương trình đã cho có nghiệm là x=e hoặc x = e^2.

Vậy phương trình có tập nghiệm là x = \{ e; e^2 \}

iii) Mũ hóa

Ví dụ: Phương trình {\log _2}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = 2x + 1 có bao nhiêu nghiệm?

Hướng dẫn giải

Ta có: {\log _2}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = 2x + 1 \Leftrightarrow {3.2^x} - 1 = {2^{2x + 1}}

\Leftrightarrow {2.4^x} - {3.2^x} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {2^x} = 1 \hfill \\ {2^x} = \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.

Vậy phương trình đã cho có tất cả 2 nghiệm.

Câu trắc nghiệm mã số: 44408,44410,44405

3. Bất phương trình mũ

a) Định nghĩa bất phương trình mũ

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng {a^x} > b (hoặc {a^x} \geqslant b,{a^x} < b,{a^x} \leqslant b) với a > 0,a \ne 1.

Để giải, ta xét bất phương trình có dạng {a^x} > b

- Nếu b \leq 0, tập nghiệm của bất phương trình là \mathbb{R}, vì {a^x} > b,\forall x \in \mathbb{R}

- Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với {a^x} > {a^{{{\log }_a}b}}, khi đó:

Với a>1, nghiệm của bất phương trình là x > {\log _a}b

Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < {\log _a}b

b) Cách giải bất phương trình mũ

  • Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

\boxed{{a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} a > 1 \hfill \\ f\left( x \right) > g\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 0 < a < 1 \hfill \\ f\left( x \right) < g\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.}

  • Tương tự với bất phương trình dạng:

\left[ \begin{gathered} {a^{f\left( x \right)}} \geqslant {a^{g\left( x \right)}} \hfill \\ {a^{f\left( x \right)}} < {a^{g\left( x \right)}} \hfill \\ {a^{f\left( x \right)}} \leqslant {a^{g\left( x \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \right.

  • Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

\boxed{{a^M} > {a^N} \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {M - N} \right) > 0}.

  • Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ: đưa về cùng cơ số; đặt ẩn phụ.

Ví dụ: Tập nghiệm của bất phương trình {2^x} + {2^{x + 1}} \leqslant {3^x} + {3^{x - 1}}là?

Hướng dẫn giải

Ta có: {2^x} + {2^{x + 1}} \leqslant {3^x} + {3^{x - 1}}

\Leftrightarrow {3.2^x} \leqslant \frac{4}{3}{.3^x}\Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x} \geqslant \frac{9}{4}

\Leftrightarrow x \geqslant 2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là x \in \left[ {2; + \infty } \right).

Câu trắc nghiệm mã số: 36724,36704

4. Bất phương trình Lôgarit

a) Định nghĩa bất phương trình lôgarit

Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng {\log _a}x > b (hoặc {\log _a}x \geqslant b,{\log _a}x < b,{\log _a}x \leqslant b) với a > 0,a \ne 1.

Để giải, ta xét bất phương trình {\log _a}x > b như sau:

- Trường hợp a>1, ta có:

{\log _a}x > b \Leftrightarrow x > {a^b}

- Trường hợp 0 < a < 1, ta có:

{\log _a}x > b \Leftrightarrow 0 < x < {a^b}

b) Cách giải bất phương trình lôgarit

i) Đưa về cùng cơ số

Nếu a> 1 thì

{\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} g(x) > 0 \hfill \\ f(x) > g(x) \hfill \\ \end{gathered} \right.

Nếu 0 < a < 1 thì

{\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} f(x) > 0 \hfill \\ f(x) < g(x) \hfill \\ \end{gathered} \right.

ii) Đặt ẩn phụ

iii) Mũ hóa

Ví dụ: Tìm tập nghiệm của Bất phương trình {\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) \leqslant 2

Giải:

+) Xét: x > 0 \Rightarrow {2^x} > {2^0} = 1 \Rightarrow {2^x} + 1 > 2 \Rightarrow {\log _2}\left( {{2^x} + 1} \right) > {\log _2}2 = 1\left( 1 \right)

x > 0 \Rightarrow {4^x} > {4^0} = 1 \Rightarrow {4^x} + 2 > 2 + 1 = 3 \Rightarrow {\log _3}\left( {{4^x} + 2} \right) > {\log _3}3 = 1\left( 2 \right)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:

{\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) > 2

Mà bất phương trình:

{\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) \leqslant 2 nên x > 0 (L)

+) Xét: x \leqslant 0 \Rightarrow {2^x} \leqslant {2^0} = 1 \Rightarrow {2^x} + 1 \leqslant 2 \Rightarrow {\log _2}\left( {{2^x} + 1} \right) \leqslant {\log _2}2 = 1\left( 3 \right)

x \leqslant 0 \Rightarrow {4^x} \leqslant {4^0} = 1 \Rightarrow {4^x} + 2 \leqslant 2 + 1 = 3 \Rightarrow {\log _3}\left( {{4^x} + 2} \right) \leqslant {\log _3}3 = 1\left( 4 \right)

Cộng vế với vế của (3) và (4) ta được:

{\log _2}({2^x} + 1) + {\log _3}({4^x} + 2) \leqslant 2\left( {TM} \right)

Vậy x \leqslant 0 hay x \in \left( { - \infty ;0} \right].

Câu trắc nghiệm mã số: 36693
  • 7 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 KNTT