Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Ôn tập chương 5 Giới hạn Hàm số liên tục

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Nhận biết
    Tính giới hạn

    Tính giới hạn \lim\sqrt{\frac{8n + 2}{2n - 1}}

    Hướng dẫn:

    Ta có: \lim\sqrt{\dfrac{8n + 2}{2n - 1}} =\lim\sqrt{\dfrac{8 + \dfrac{2}{n}}{2 - \dfrac{1}{n}}} = \sqrt{\dfrac{8 +0}{2 - 0}} = 2

  • Câu 2: Nhận biết
    Tính giới hạn

    Tính giới hạn \lim\frac{n^{2} - 4n^{3}}{2n^{3} + 5n - 2}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim\dfrac{n^{2} - 4n^{3}}{2n^{3} + 5n -2} = \lim\dfrac{\dfrac{1}{n} - 4}{2 + \dfrac{5}{n^{2}} - \dfrac{2}{n^{3}}} =\dfrac{0 - 4}{2 + 0 - 0} = - 2

  • Câu 3: Thông hiểu
    Tính giới hạn

    Tính giới hạn \lim\dfrac{4^{n + 1} + 6^{n + 2}}{5^{n} +8^{n}}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim\dfrac{4^{n + 1} + 6^{n + 2}}{5^{n} +8^{n}} = \lim\dfrac{\dfrac{4^{n + 1} + 6^{n + 2}}{8^{n}}}{\dfrac{5^{n} +8^{n}}{8^{n}}}

    = \lim\dfrac{4.\left( \dfrac{1}{2}ight)^{n} + 36.\left( \dfrac{3}{4} ight)^{n}}{\left( \dfrac{5}{8}ight)^{n} + 1} = 0

  • Câu 4: Thông hiểu
    Tính giá trị giới hạn

    Tính giá trị giới hạn \lim\left( \sqrt[3]{n^{3} - 2n^{2}} - night)

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim\left( \sqrt[3]{n^{3} - 2n^{2}} - night)

    = \lim\frac{2n^{2}}{\left(\sqrt[3]{n^{3} - 2n^{2}} ight)^{2} + n.\sqrt[3]{n^{3} - 2n^{2}} +n^{2}}

    = \lim\dfrac{- 2}{\left( \sqrt[3]{\left(1 - \dfrac{2}{n} ight)} ight)^{2} + \sqrt[3]{1 - \dfrac{2}{n}} + 1} =- \dfrac{2}{3}

  • Câu 5: Vận dụng
    Tính giới hạn hàm số

    Kết quả của giới hạn \lim\frac{2^{n + 1} + 3n + 10}{3n^{2} - n + 2}

    Hướng dẫn:

    Ta có: 2^{n} = \sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}

    \Rightarrow 2^{n} \geq C_{n}^{3} = \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}\sim\frac{n^{3}}{6}

    \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}\dfrac{n}{2^{n}} ightarrow 0 \\\dfrac{2^{n}}{n^{2}} ightarrow + \infty \\\end{matrix} ight.. Khi đó:

    \lim\dfrac{2^{n + 1} + 3n + 10}{3n^{2} -n + 2} = \lim\left\lbrack \dfrac{2^{n}}{n^{2}}.\dfrac{2 + 3\left(\dfrac{n}{2^{n}} ight) + 10.\left( \dfrac{1}{2} ight)^{n}}{3 -\dfrac{1}{n} + \dfrac{2}{n^{2}}} ightbrack = + \infty

    (vì \left\{ \begin{matrix}\lim\left\lbrack 2 + 3\left( \dfrac{n}{2^{n}} ight) + 10.\left(\dfrac{1}{2} ight)^{n} ightbrack = \dfrac{2}{3} > 0 \\\lim\dfrac{2^{n}}{n^{2}} = + \infty \\\end{matrix} ight.)

  • Câu 6: Vận dụng cao
    Tính số phần tử S

    Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình

    \frac{\left( 2m^{2} - 7m + 3 ight)x^{3} + x^{2} - (m - 1)x + 2}{(2 - m)x^{2} + 2x - 3} \leq 0

    Đúng với mọi x thuộc tập xác định của bất phương trình đó. Số phần tử S bằng:

    Hướng dẫn:

    Giả sử m là số thực thỏa mãn yêu cầu bài toán:

    Với m = 2 bất phương trình trở thành \frac{- 3x^{3} + x^{2} - x + 2}{2x - 3} \leq 0, bất phương trình không đúng với \frac{\left( 2m^{2} - 7m + 3 ight)x^{3} + x^{2} - (m - 1)x + 2}{(2 - m)x^{2} + 2x - 3} \leq 0

    => Không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Với m = 3 bất phương trình trở thành \frac{x^{2} - 2x + 2}{- x^{2} + 2x - 3} \leq 0, tập nghiệm của bất phương trình là \mathbb{R}

    => Thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Với m = \frac{1}{2} bất phương trình trở thành \dfrac{x^{2} + \dfrac{1}{2}x +2}{\dfrac{3}{2}x^{2} + 2x - 3} \leq 0, bất phương trình không đúng với x = 1

    => Không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Với m eq 2;m eq 3;m eq \frac{1}{2} đặt \left\{\begin{matrix}f(x) = \dfrac{\left( 2m^{2} - 7m + 3 ight)x^{3} + x^{2} - (m - 1)x +2}{(2 - m)x^{2} + 2x - 3} \\A = 2m^{2} - 7m + 3 \\\end{matrix} ight. thì A eq 0

    Theo giả thiết ta có:

    f(x) \leq 0 với mọi giá trị x thuộc tập xác định (*)

    Nếu A < 0 thì \lim_{x ightarrow - \infty}f(x) = + \infty mâu thuẫn với (*)

    Nếu A > 0 thì \lim_{x ightarrow + \infty}f(x) = + \infty mâu thuẫn với (*)

    Vậy S = \left\{ 3 ight\} nên số phần tử của S là 1.

  • Câu 7: Nhận biết
    Tính giới hạn

    Tính giới hạn \lim_{x ightarrow + \infty}\frac{3x^{2} - 2x}{x^{2} + 1}

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{3x^{2} - 2x}{x^{2} + 1} = \lim_{x ightarrow +\infty}\dfrac{3 - \dfrac{2}{x}}{1 + \dfrac{1}{x^{2}}} = \dfrac{3 - 0}{1 + 0}= 3

  • Câu 8: Nhận biết
    Tính giới hạn hàm số

    Tính \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{- x^{2} + 5}{x - 3}.

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( { - {x^2} + 5} ight) = - 4 < 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x - 3} ight) = 0 \hfill \\ x - 3 > 0,\forall x > 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Do đó \lim_{x ightarrow 3^{+}}\frac{- x^{2} + 5}{x - 3} = - \infty

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tính giới hạn hàm số

    Tính giới hạn của hàm số \lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{5} + x^{4} - 4x^{2} + 1}{x^{3} - 1}.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{5} + x^{4} - 4x^{2} + 1}{x^{3} - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left( 2x^{4} + 3x^{3} + 3x^{2} - x - 1 ight)}{(x - 1)\left( x^{2} + x + 1 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{2x^{4} + 3x^{3} + 3x^{2} - x - 1}{x^{2} + x + 1} = 2

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tìm khẳng định sai

    Cho hàm số f(x)= \left\{ \begin{matrix}x^{2} - 2x + 3\ \ \ khi\ x > 3 \\1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 3 \\3 - 2x^{2}\ \ \ \ \ khi\ x < 3 \\\end{matrix} ight. . Khẳng định nào dưới đây sai?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 3^{+}}f(x) = \lim_{xightarrow 3^{+}}\left( x^{2} - 2x + 3 ight) = 6

    \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x) = \lim_{xightarrow 3^{-}}\left( 3 - 2x^{2} ight) = - 15

    \Rightarrow \lim_{x ightarrow3^{+}}f(x) eq \lim_{x ightarrow 3^{-}}f(x)

    => Không tồn tại giới hạn khi x dần đến 3.

    Vậy chỉ có khẳng định \lim_{x ightarrow3^{-}}f(x) = 6 sai.

  • Câu 11: Vận dụng
    Xác định giới hạn hàm số

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{100} - 2x + 1}{x^{50} - 2x + 1} bằng:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{100} - 2x + 1}{x^{50} - 2x + 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{\left( x^{100} - 1 ight) - 2(x - 1)}{\left( x^{50} - 1 ight) - 2(x - 1)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left( x^{99} + x^{98} + .... + x + 1 - 2 ight)}{(x - 1)\left( x^{49} + x^{48} + .... + x + 1 - 2 ight)}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x^{99} + x^{98} + .... + x + 1 - 2}{x^{49} + x^{48} + .... + x + 1 - 2} = \frac{98}{48} = \frac{49}{24}

  • Câu 12: Nhận biết
    Tìm hàm số không liên tục

    Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại x = 1?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 2}}{{x - 1}} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 2}}{{x - 1}} = - \infty \hfill \\ \end{gathered} ight. nên hàm số y = \frac{x^{2} + 2}{x - 1} gián đoạn tại điểm x = 1

  • Câu 13: Thông hiểu
    Chọn đáp án đúng

    Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [−1; 4] sao cho f(−1) = 2, f(4) = 7. Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình f(x) = 5 trên đoạn [−1; 4]:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    Ta có f(x) = 5 ⇔ f(x) − 5 = 0. Đặt g(x) = f(x) − 5.

    Khi đó

    \left\{ \begin{matrix}g( - 1) = f( - 1) - 5 = 2 - 5 = - 3 \\g(4) = f(4) - 5 = 7 - 5 = 2 \\\end{matrix} ight.

    \Rightarrow g( - 1).g(4) < 0

    Vậy phương trình g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 4) hay phương trình f(x) = 5 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 4)

  • Câu 14: Thông hiểu
    Tìm m để hàm số liên tục

    Tìm a để hàm số y = f(x) = \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x^{2} - 4}{x - 2}\ \ khi\ x eq 2 \\m^{2} + 3m\ \ \ khi\ x = 2 \\\end{matrix} ight. liên tục tại x = 2. Tìm m để hàm số liên tục tại x = 2.

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \lim_{x ightarrow 2}\frac{x^{2} - 4}{x - 2} = \lim_{x ightarrow 2}(x + 2) = 4

    Để hàm số liên tục tại x = 1 thì m^{2} + 3m = 4 \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 4 \\ \end{matrix} ight.

  • Câu 15: Vận dụng cao
    Tìm số tự nhiên n

    Cho hàm số f(x)= \left\{ \begin{matrix}\dfrac{x + x^{2} + ... + x^{n} - n}{x - 1}\ \ khi\ x eq 1 \\15\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x = 1 \\\end{matrix} ight.. Tìm số tự nhiên n để hàm số liên tục tại x_{0} = 1.

    Hướng dẫn:

    Ta có: f(1) = 15

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x + x^{2} + ... + x^{n} - n}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{x - 1 + x^{2} - 1 + ... + x^{n} - 1}{x - 1}

    = \lim_{x ightarrow 1}\frac{(x - 1)\left\lbrack 1 + (x + 1) + \left( x^{2} + x + 1 ight) + ... + \left( x^{n - 1} + x^{n - 2} + ... + 1 ight) ightbrack}{x - 1}

    = 1 + 2 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}

    Hàm số f(x) liên tục tại x_{0} = 1 khi và chỉ khi

    \lim_{x ightarrow 1}f(x) = f(1)

    \Leftrightarrow \frac{n(n + 1)}{2} = 15

    \Leftrightarrow n = 5

0/15
15 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (33%):
    2/3
  • Thông hiểu (40%):
    2/3
  • Vận dụng (13%):
    2/3
  • Vận dụng cao (13%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 25 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 KNTT

Đăng nhập