Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Giới hạn của hàm số Kết nối tri thức

Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Giới hạn của hàm số bao gồm định nghĩa, cách tính giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực của hàm số. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

a) Giới hạn tại một điểm

Cho khoảng \left( {a,b} \right)  chứa điểm {x_0}.

Ta nói rằng hàm số y=f\left( x \right) xác định trên \left( {a,b} \right) có giới hạn là L  khi x \to {x_0} nếu với dãy số \left( {{x_n}} \right) bất kì, {x_n} \in \left( {a,b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\},{x_n} \to {x_0}, ta có: f\left( {{x_n}} \right) \to L

Ta kí hiệu: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L hay f\left( x \right) \to L khi x \to {x_0}

b) Quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm

Định lí 1: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương khi x \to {x_0} bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi x \to {x_0}.

Nói cách khác: Cho \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = P, \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = Q. Ta có:

\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = P + Q \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = P.Q
\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = P - Q \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{P}{Q},Q \ne 0

Chú ý:

  • \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c với c là hằng số
  • \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {x^n} = x_0^n;\forall n \in \mathbb{N}

Định lí 2: Nếu \left\{ \begin{gathered} f\left( x \right) \geqslant 0;\forall x \in \left( {a,b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = P \hfill \\ \end{gathered} \right. thì \left\{ \begin{gathered} P \geqslant 0 \hfill \\ \lim \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt P \hfill \\ \end{gathered} \right..

Định lí 3: Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = P thì \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| P \right|.

Ví dụ: Tính giới hạn

a) \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^4} - 16}}{{{x^3} + 2{x^2}}}

b) \mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{{x^2} + 4x}}

c) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2x} - 1}}{{3x}}

Hướng dẫn giải

a) \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^4} - 16}}{{{x^3} + 2{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{{x^2}\left( {x + 2} \right)}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{{x^2}}} = - 8

b) \mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{{x^2} + 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{x\left( {x + 4} \right)}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 4} \frac{{x - 1}}{x} = \frac{5}{4}

c) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + 2x} - 1}}{{3x}}= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {1 + 2x} - 1} \right)\left( {\sqrt {1 + 2x} + 1} \right)}}{{3x\left( {\sqrt {1 + 2x} + 1} \right)}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x}}{{3x\left( {\sqrt {1 + 2x} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{2}{{3\left( {\sqrt {1 + 2x} + 1} \right)}} = \frac{1}{3}

Câu trắc nghiệm mã số: 34215,33990

c) Giới hạn một bên

Giới hạn phải: Cho hàm số y=f\left( x \right) xác định trên \left( {{x_0},b} \right).

Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số y=f\left( x \right) khi x \to {x_0} nếu với mọi dãy \left( {{x_n}} \right):{x_0} < {x_n} < b mà {x_n} \to {x_0} thì ta có: f\left( {{x_n}} \right) \to L.

Kí hiệu: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L.

Giới hạn trái: Cho hàm số y=f\left( x \right) xác định trên \left( {a,{x_0}} \right).

Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y=f\left( x \right) khi x \to {x_0} nếu với mọi dãy \left( {{x_n}} \right):a < {x_0} < {x_n} mà {x_n} \to {x_0} thì ta có: f\left( {{x_n}} \right) \to L.

Kí hiệu: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = L.

Ví dụ: Tính các giới hạn sau:

a) \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {\sqrt {3 - x} + x} \right)

b) \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left| {2 - x} \right|}}{{2{x^2} - 5x + 2}}

c) \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left[ {\left( {4 - x} \right)\sqrt {\frac{{2x + 1}}{{{x^3} - 64}}} } \right]

 

Hướng dẫn giải

a) \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {\sqrt {3 - x} + x} \right) =3

b) \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{\left| {2 - x} \right|}}{{2{x^2} - 5x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2 - x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{ - 1}}{{2x - 1}}} \right) = - \frac{1}{3}

c) \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left[ {\left( {4 - x} \right)\sqrt {\frac{{2x + 1}}{{{x^3} - 64}}} } \right]

= \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \sqrt {\frac{{\left( {2x + 1} \right){{\left( {4 - x} \right)}^2}}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} + 4x + 16} \right)}}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \sqrt {\frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {4 - x} \right)}}{{\left( {{x^2} + 4x + 16} \right)}}} = 0

Câu trắc nghiệm mã số: 34185,34200

Chú ý: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = L

Ví dụ: Tìm giới hạn của hàm số f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}{\text{ khi }}x > 1} \\ { - \dfrac{x}{2}{\text{ khi }}x \leqslant 1} \end{array}} \right..

Hướng dẫn giải

Ta có:

\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( { - \frac{x}{2}} \right) = - \frac{1}{2}

\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}} \right)

= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}

\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = - \frac{1}{2}

\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = - \frac{1}{2}

2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Giới hạn tại vô cực

Hàm số y=f\left( x \right) xác định trên \left( {a, + \infty } \right) có giới hạn L khi {x_n} \to + \infty nếu với mọi dãy số \left( {{x_n}} \right):{x_n} > a và {x_n} \to + \infty thì f\left( {{x_n}} \right) \to L.

Kí hiệu \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L

Hàm số y=f\left( x \right) xác định trên \left( { - \infty ,b} \right) có giới hạn L khi {x_n} \to - \infty nếu với mọi dãy số \left( {{x_n}} \right):{x_n} < b và {x_n} \to - \infty thì f\left( {{x_n}} \right) \to L.

Kí hiệu \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L

Chú ý:

  • Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
  • Với c là hằng số ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } c = c;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } c = c
  • Với k là một số nguyên dương ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{x^k}}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{{x^k}}} = 0

Ví dụ: Tính giới hạn: \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{ - 2 + 3x - 4{x^2}}}

Hướng dẫn giải

Ta có:

\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{ - 2 + 3x - 4{x^2}}}= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{2 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{ - \dfrac{2}{{{x^2}}} + \dfrac{3}{x} - 4}} = - \dfrac{1}{2}

Câu trắc nghiệm mã số: 34199,34184

3. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

a) Giới hạn vô cực

Cho khoảng \left( {a,b} \right) chứa điểm x_0 và hàm số y = f\left( x \right) xác định trên \left( {a,b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}.

Hàm số y = f\left( x \right) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x \to {x_0} nếu với mọi dãy số \left( {{x_n}} \right);{x_n} \in \left( {a,b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}:{x_n} \to {x_0} thì f\left( {{x_n}} \right) \to + \infty. Kí hiệu: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = + \infty.

Hàm số y = f\left( x \right) có giới hạn dần tới âm vô cực khi x \to {x_0} nếu với mọi dãy số \left( {{x_n}} \right);{x_n} \in \left( {a,b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}:{x_n} \to {x_0} thì - f\left( {{x_n}} \right) \to + \infty. Kí hiệu: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ { - f\left( x \right)} \right] = + \infty.

b) Giới hạn về bên trái, giới hạn về bên phải

Giới hạn phải: Cho hàm số y = f\left( x \right) xác định trên \left( {{x_0},b} \right). Hàm số y = f\left( x \right) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x \to {x_0} về bên phải với mọi dãy \left( {{x_n}} \right):{x_0} < {x_n} < b mà {x_n} \to {x_0} thì ta có: f\left( {{x_n}} \right) \to + \infty.

Kí hiệu: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = + \infty.

Giới hạn trái: Cho hàm số y = f\left( x \right) xác định trên \left( {a,{x_0}} \right). Hàm số y = f\left( x \right) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x \to {x_0} về bên trái với mọi dãy \left( {{x_n}} \right):a < {x_0} < {x_n} mà {x_n} \to {x_0} thì ta có: f\left( {{x_n}} \right) \to + \infty.

Kí hiệu: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = + \infty.

Các giới hạn một bên \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = - \infty cũng được định nghĩa tương tự.

c) Một số giới hạn đặc biệt

\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{c}{{{x^k}}} = 0
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { + \infty {\text{ }}\forall {\text{k = 2n}}} \\ { - \infty {\text{ }}\forall {\text{k = 2n + 1}}} \end{array}} \right.\left( {n \in \mathbb{R}} \right) \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{x} = - \infty
\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } c = c \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left| {\frac{1}{x}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left| {\frac{1}{x}} \right| = + \infty

d) Một số quy tắc tính giới hạn vô cực

Quy tắc 1: Tính giới hạn tích biết \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = P \ne 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \pm \infty

\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right).g\left( x \right)
P > 0 + \infty + \infty
- \infty - \infty
P < 0 + \infty - \infty
- \infty + \infty

Quy tắc 2: Tính giới hạn thương 

\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right)

Dấu của g(x)

  \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}
 P > 0 

0

+

 + \infty

-

 - \infty
P > 0

0

+

 - \infty

-

 + \infty
P \pm \infty

Tùy ý

0

Ví dụ: Tính giới hạn:

a) \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + {x^2} - x + 1} \right)

b) \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x - \sqrt {4{x^2} + 2x - 1} } \right)

Hướng dẫn giải

a) \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + {x^2} - x + 1} \right)

= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right]

Vì \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3}} \right) = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right) = - 1 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. nên \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + {x^2} - x + 1} \right) = + \infty

b) \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x - \sqrt {4{x^2} + 2x - 1} } \right)

= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x - \left| x \right|\sqrt {4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} } \right)

= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x + x\sqrt {4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} } \right)

= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x\left( {2 + \sqrt {4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} } \right)} \right]

Vì \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( x \right) = - \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2 + \sqrt {4 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^2}}}} } \right) = 4 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. nên \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {2x - \sqrt {4{x^2} + 2x - 1} } \right) = - \infty

Câu trắc nghiệm mã số: 34201,34218,33991
  • 3 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 KNTT