Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Giới hạn của hàm số bao gồm định nghĩa, cách tính giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực của hàm số. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.
Cho khoảng chứa điểm
.
Ta nói rằng hàm số xác định trên
có giới hạn là
khi
nếu với dãy số
bất kì,
, ta có:
Ta kí hiệu: hay
khi
Định lí 1: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương khi bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn đó khi
.
Nói cách khác: Cho ,
. Ta có:
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Chú ý:
Định lí 2: Nếu thì
.
Định lí 3: Nếu thì
.
Ví dụ: Tính giới hạn
a) |
b) |
c) |
Hướng dẫn giải
a)
b)
c)
Giới hạn phải: Cho hàm số xác định trên
.
Số gọi là giới hạn bên phải của hàm số
khi
nếu với mọi dãy
mà
thì ta có:
.
Kí hiệu: .
Giới hạn trái: Cho hàm số xác định trên
.
Số gọi là giới hạn bên trái của hàm số
khi
nếu với mọi dãy
mà
thì ta có:
.
Kí hiệu: .
Ví dụ: Tính các giới hạn sau:
a) |
b) |
c) |
|
Hướng dẫn giải
a)
b)
c)
Chú ý:
Ví dụ: Tìm giới hạn của hàm số .
Hướng dẫn giải
Ta có:
Hàm số xác định trên
có giới hạn L khi
nếu với mọi dãy số
và
thì
.
Kí hiệu
Hàm số xác định trên
có giới hạn L khi
nếu với mọi dãy số
và
thì
.
Kí hiệu
Chú ý:
Ví dụ: Tính giới hạn:
Hướng dẫn giải
Ta có:
Cho khoảng chứa điểm
và hàm số
xác định trên
.
Hàm số có giới hạn dần tới dương vô cực khi
nếu với mọi dãy số
thì
. Kí hiệu:
.
Hàm số có giới hạn dần tới âm vô cực khi
nếu với mọi dãy số
thì
. Kí hiệu:
.
Giới hạn phải: Cho hàm số xác định trên
. Hàm số
có giới hạn dần tới dương vô cực khi
về bên phải với mọi dãy
mà
thì ta có:
.
Kí hiệu: .
Giới hạn trái: Cho hàm số xác định trên
. Hàm số
có giới hạn dần tới dương vô cực khi
về bên trái với mọi dãy
mà
thì ta có:
.
Kí hiệu: .
Các giới hạn một bên cũng được định nghĩa tương tự.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|
Quy tắc 1: Tính giới hạn tích biết
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Quy tắc 2: Tính giới hạn thương
![]() |
![]() |
Dấu của g(x) |
![]() |
![]() |
0 |
+ |
![]() |
- |
![]() |
||
![]() |
0 |
+ |
![]() |
- |
![]() |
||
![]() |
![]() |
Tùy ý |
0 |
Ví dụ: Tính giới hạn:
a) |
b) |
Hướng dẫn giải
a)
Vì nên
b)
Vì nên