Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm Kết nối tri thức

Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm bao gồm định nghĩa, tính chất và ý nghĩa của đạo hàm. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.

1. Một số bài toán dẫn đến định nghĩa đạo hàm

a) Vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng

Bài toán 1: Xét chuyển động thẳng s = s\left( t \right).

Vận tốc tức thời tại điểm {t_0} là: v\left( {{t_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{s\left( t \right) - s\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}

b) Cường độ tức thời

Bài toán 2: Giả sử điện lượng Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình:

Q = Q\left( t \right)

Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm {t_0}:

I\left( {{t_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{Q\left( t \right) - Q\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}

Nhiều bài toán trong các môn học tự nhiên đưa đến việc tìm giới hạn dạng ở đó y = f(x) là một hàm số đã cho.

Giới hạn trên dẫn đến một khái niệm quan trọng là Đạo hàm.

2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Hàm số y = f\left( x \right) liên tục trên \left( {a,b} \right), được gọi là có đạo hàm tại {x_0} \in \left( {a,b} \right).

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm {x_0}. Ta kí hiệu là f'\left( {{x_0}} \right) (hoặc y'\left( {{x_0}} \right)) tức là:

f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}

Các bước tính đạo hàm

Để tính đạo hàm của hàm số y = f\left( x \right) tại điểm {x_0} \in \left( {a,b} \right) ta thực hiện theo các bước sau:

  • Bước 1: Tính f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)
  • Bước 2: Lập và rút gọn tỉ số \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} với x \in \left( {a,b} \right),x \ne {x_0}
  • Bước 3: Tính giới hạn \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = x + \sqrt {x - 1} tại điểm {x_0} = 2.

Hướng dẫn giải

Tập xác định D = \left[ {1; + \infty } \right)

Tại điểm {x_0} = 2;{y_0} = 2 + \sqrt {2 - 1} = 3

Với 1 \leqslant x \ne 2 ta có:

\frac{{y - {y_0}}}{{x - {x_0}}} = \frac{{x + \sqrt {x - 1} - 3}}{{x - 2}}

= \frac{{\left( {x - 2} \right) + \left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}}{{x - 2}}= 1 + \frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{x - 2}}

Do đó

y'\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {1 + \frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{x - 2}}} \right)

= 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\frac{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}}} \right]

= 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\frac{{x - 1 - 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}}} \right]

= 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\frac{1}{{\sqrt {x - 1} + 1}}} \right) = 1 + \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{3}{2}

Vậy y'\left( 2 \right) = \frac{3}{2}

3. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục

Định lí: Nếu hàm số y = f\left( x \right) có đạo hàm tại điểm {x_0} thì liên tục tại {x_0}.

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm {x_0}  nhưng hàm đó không có đạo hàm tại {x_0}.

4. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

a) Đạo hàm bên trái, đạo hàm bên phải

Đạo hàm bên trái

f'\left( {{x_0}^ - } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}

Đạo hàm bên phải

f'\left( {{x_0}^ + } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}

Hệ quả: Hàm số y = f\left( x \right) có đạo hàm tại {x_0} \Leftrightarrow \exists f'\left( {{x_0}^ + } \right),f'\left( {{x_0}^ - } \right):f'\left( {{x_0}^ + } \right) = f'\left( {{x_0}^ - } \right)

Ví dụ: Cho hàm số y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {x - 1} \right)}^2}{\text{ khi }}x \geqslant 0} \\ {1 - 2x{\text{ khi }}x < 0} \end{array}} \right.. Tính f'\left( 0 \right)?

Hướng dẫn giải

Tìm giới hạn bên trái và giới hạn bên phải tại điểm x = 0

Ta có:

f\left( 0 \right) = 1

f'\left( {{0^ - }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left( {1 - 2x} \right) - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - 2} \right) = - 2

f'\left( {{0^ + }} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left( {x - 1 - 1} \right)\left( {x - 1 + 1} \right)}}{x}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x - 2} \right) = - 2

Vậy f'\left( 0 \right) = - 2

b) Đạo hàm của hàm số trên một khoảng, một đoạn

Hàm số y = f\left( x \right) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên khoảng \left( {a,b} \right) nếu nó có đạo hàm f'\left( x \right) tại mọi điểm x \in \left( {a;b} \right). Kí hiệu: y' = f'\left( x \right).

Hàm số y = f\left( x \right) có đạo hàm (hay khả vi) trên \left[ {a,b} \right] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc \left( {a,b} \right) đồng thời tồn tại đạo hàm trái f'\left( {{b^ - }} \right) và đạo hàm phải f'\left( {{a^ + }} \right).

Ví dụ: Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số f\left( x \right) = {x^2} + \sqrt x với x > 0.

Hướng dẫn giải

Với {x_0} > 0 bất kì ta có:

f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^2} + \sqrt x - \left( {{x_0}^2 + \sqrt {{x_0}} } \right)}}{{x - {x_0}}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right) + \frac{{x - {x_0}}}{{\sqrt x + \sqrt {{x_0}} }}}}{{x - {x_0}}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x + {x_0} + \frac{1}{{\sqrt x + \sqrt {{x_0}} }}} \right)= 2{x_0} + \frac{1}{{2\sqrt {{x_0}} }}

Vậy f'\left( x \right) = 2x + \frac{1}{{2\sqrt x }} trên khoảng \left( {0; + \infty } \right)

5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

a) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f\left( x \right) tại điểm P\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right) là đường thẳng đi qua p với hệ số góc k = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn, nghĩa là k = f'\left( {{x_0}} \right). P được gọi là tiếp điểm.

Nhận xét: Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f\left( x \right) tại điểm P\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right) là đạo hàm f'\left( {{x_0}} \right).

b) Phương trình tiếp tuyến

Nếu hàm số y = f\left( x \right) có đạo hàm tại điểm x_0 thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm P\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right) là y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) trong đó {y_0} = f\left( {{x_0}} \right).

Ví dụ: Cho hàm số y = \frac{8}{x};\left( {x \ne 0} \right).

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ {x_0} = 2.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng có phương trình y = - 2x + 8.

Hướng dẫn giải

Với {x_0} \ne 0 bất kì ta có:

y'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {\frac{{8\left( {{x_0} - x} \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right){x_0}.x}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {\frac{{ - 8}}{{{x_0}.x}}} \right) = \frac{{ - 8}}{{{x_0}^2}}

a) Với {x_0} = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {y_0} = 4 \hfill \\ y'\left( 2 \right) = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ {x_0} = 2 là:

y - 4 = - 2\left( {x - 2} \right) = - 2x + 4 hay y = - 2x + 8

b) Hệ số góc của tiếp tuyến có dạng y'\left( {{x_0}} \right) = - \frac{8}{{{x_0}^2}} (x = {x_0} là hoành độ tiếp điểm)

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = - 2x + 8 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = - 2

Ta có: - \frac{8}{{{x_0}^2}} = - 2 \Leftrightarrow {x_0}^2 = 4 \Leftrightarrow {x_0} = \pm 2

Với {x_0} = 2 phương trình tiếp tuyến là y - 4 = - 2\left( {x - 2} \right) = - 2x + 8 (loại do trùng với đường thẳng đã cho).

Với {x_0} = - 2 phương trình tiếp tuyến là y - \left( { - 4} \right) = - 2\left( {x + 2} \right) = - 2x - 8

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = - 2x + 8.

  • 2 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 KNTT