Luyện tập Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Hình vẽ minh họa:

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Theo giả thiết ta có: B’O ⊥ (ABCD)

Dó đó

Vì tam giác ABD đều cạnh a =>

Tam giác B’BO vuông ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của SD

Góc giữa SB và (SCD) cùng bằng góc giữa OM và (SCD)

(Vì OM // SB)

Gọi H là hình chiếu của O trên (SCD) => (OM; (SCD)) = (OM; MH) = OMH

Trong (SBD) kẻ OE // SK, trong đó K là hình chiếu của S lên mặt đáy, khi đó tứ diện OECD là tứ diện vuông cân nên

Vì tam giác AOM vuông tại H

Vì

Tương tự:

Vậy H là trực tâm tam giác ABC.

Vì C’ trùng với C nên tam giác ABC’ là tam giác vuông tại A.

Hình vẽ minh họa:

Dễ thấy

Góc giữa B₁D₁ và AC bằng 90⁰

Góc giữa AD và C₁B bằng 45⁰

Góc giữa BD và CA₁ bằng 90⁰

Đều là các đáp án đúng

Góc giữa B₁D₁ và AA₁ bằng 60⁰ sai vì

Gọi H là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P)

=> H là hình chiếu của M trên (P) nên từ MA = MB = MC

=> HA = HB = HC

=> Khi đó đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hình vẽ minh họa:

Vì S.ABC là hình chóp đều => SO⊥(ABC) (với O là tâm của tam giác ABC)

Do đó: SO ⊥ AA’ mà (α) ⊥ AA’ => SO // (α)

Tương tự ta cũng có BC // (α)

Qua M kẻ IJ // BC (I thuộc AB, J thuộc AC), kẻ MN // SO với N thuộc SA’

Qua N kẻ EF // BC với E thuộc SB và F thuộc SC

Khi đó thiết diện là hình thang IJEF

Diện tích hình thang là:

Xét tam giác ABC ta có:

Xét tam giác SBC ta có:

Xét tam giác SOA’ có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là giao điểm của HK và AC

Dễ dàng suy ra HK // BD => HK ⊥ AC

Ta lại có: AC ⊥ SH

=> AC ⊥ (SHK)

=>

Tam giác SIA vuông tại I ta có:

Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ BC

Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ SB

=> Tam giác SBC vuông tại B => I là trung điểm của SC

Theo bài ra ta có: IH ⊥ (ABC) => IH // SA

=> H là trung điểm của cạnh AC,

Mà tam giác ABC vuông tại B => H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hình vẽ minh họa:

Ta có I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC)

Tam giác SAI vuông tại I

=> SA² = AI² + SI²

Tam giác SBI vuông tại I

=> SB² = BI² + SI²

Tam giác SCI vuông tại I

=> SC² = CI² + SI²

Kết hợp với điều kiện: SA = SB = SC

=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hình vẽ minh họa:

Ta có SA ⊥(ABC) => Hình chiếu của SB trên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng AB.

=> Góc giữa đường thẳng SB và (ABC) là góc giữa hai đường thẳng SB và AB

Tức là

Gọi I là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD)

M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên các cạnh AB, AC, BC.

Khi đó ta có:

Tương tự ta có:

Khi đó

Tương tự suy ra

=>

=> I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

=> Góc BA’C là góc tù.

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của AD

=> ABCM là hình vuông => CM ⊥ AD

Ta có:

Suy ra hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng (SAD) là SM

=>

=>