Luyện tập Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng KNTT

Từ giả thiết suy ra ADCE là hình vuông

=> CE ⊥ AB, CE = AD = a

Ta có: CE ⊥ AB, CE ⊥ SA => CE ⊥ (SAB)

Vì CE = AD = a =>

=> Tam giác ABC vuông tại C => CB ⊥ AB

Kết hợp với CB ⊥ SA => CB ⊥ (SAC)

Ta có:

CD ⊥ AD, CD ⊥ SA => CD ⊥ (SAD)

=> Tam giác SDC vuông tại D

Dùng phương pháp loại trừ nên ta có: CE ⊥ (SDC) là khẳng định sai.

Mệnh đề: “Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng và đường thẳng b với b vuông góc với (P).” sai vì hai góc này phụ nhau.

Mệnh đề: “Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q) thì mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).” sai vì (P) có thể trùng với (Q).

Mệnh đề: “Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) thì a song song với b.” sai vì a có thể trùng với b.

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

=> Tam giác ABD vuông tại B.

Ta có:

=> Tam giác BCD vuông tại C.

Ta có:

Nếu a ⊥ b, b ⊥ c thì a // c hoặc a cắt c hoặc a trùng với c hoặc a chéo c.

Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABC) mà BC thuộc (ABC)

=> SA ⊥ BC

Xét tam giác ABC vuông tại B ta có:

AB ⊥ BC

=> BC ⊥ (SAB) => BC ⊥ AH

Khi đó: AH ⊥ SB, AH ⊥ BC => AH ⊥ (SBC) => AH ⊥ SC

Nếu có: AH ⊥ AC trong khi SA ⊥ AC thì AC ⊥ (SAB)

=> AC ⊥ AB (vô lí)

Hình vẽ minh họa:

Ta có: AA’D’A là hình vuông => AD’ ⊥ A’D

ABCD.A’B’C’D là hình lập phương => AB ⊥ A’D

=> A’D ⊥ (ABC’D’) => A’D ⊥ AC’

Ta lại có: ABCD là hình vuông => AC ⊥ BD

Mà A’A ⊥ BD => BD ⊥ (AA’C’C) => BD ⊥ AC’

Kết hợp với A’D ⊥ AC’ => A’C ⊥ (A’BD)

Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABCD) => SA vuông góc với BD.

Do tứ giác ABCD là hình thoi nên BD vuông góc với AC mà SA⊥BD => BD ⊥ (SAC)

=> BD ⊥ SC, BD ⊥ SO

Dễ thấy AD không vuông góc với SC vì nếu AD vuông góc với SC thì AD ⊥ AC vô lí

Mệnh đề sai là: “Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α).”

Vì thiếu điều kiện “cắt nhau” của hai đường thẳng nằm trong (α).

Ví dụ đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng b và c nằm trong (α) nhưng b và c song song với nhau thì khi đó a chưa chắc vuông góc với (α).

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

=> Tam giác ABD vuông tại B.

=> IA = IB = ID = AD/2 (với I là trung điểm của AD)

Ta có:

=> Tam giác BCD vuông tại C.

=> EA = EC = ED = AD/2 (E là trung điểm của AD)

Vậy I trùng với E

Vậy điểm cách đều bốn đỉnh của A, B, C, D của tứ diện ABCD là trung điểm của đoạn thẳng AD.

Hình vẽ minh họa:

Ta có: Tam giác SAC và tam giác SBD lần lượt là tam giác cân tại S

=> SO ⊥ AC, SO ⊥ BD

=> SO ⊥ (ABCD)

Dễ thấy:

SO ⊥ (ABCD)

AC ⊥ BD

BD ⊥ (SAC)

Là những khẳng định đúng.

Hình vẽ minh họa:

Ta có: SA ⊥ (ABCD) => SA ⊥ BC

Mà AB ⊥ BC => BC ⊥ (SAB)

=> BC ⊥ AE

Mà AM nằm trong mặt phẳng (SAB)

Xét tam giác SAB có:

AM ⊥ SB

Mà BC ⊥ AM => AM ⊥ (SBC) => AM ⊥ SC

Chứng minh tương tự ta được: AN ⊥ SC

=> SC ⊥ (AMN)

Hình vẽ minh họa:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

Do S.ABC là hình chóp đều nên SG ⊥ (ABC). Gọi C’ là trung điểm của AB

=> C, C’, G thẳng hàng

Ta có:

Trong tam giác SAC kẻ AC₁⊥SC

=> SC ⊥ (ABC₁)

=> Thiết diện cần tìm là tam giác ABC₁ thỏa mãn đi qua A và vuông góc với SC. Tam giác SAC cân tại S nên để C₁ nằm giữa S và C khi và chỉ khi .

Trong không gian cho đường thẳng a và điểm M. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M vuông góc với a. Khi đó mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và đi qua M đều vuông góc với a.

=> Vậy có vô số đường thẳng đi qua M và vuông góc với a.

Hình vẽ minh họa:

Góc của (P) qua CD’ hợp với (BB’D’D) một góc nhỏ nhất bằng với góc giữa đường thẳng CD’ và (BB’D’D).

Ta có:

=> D là trung điểm của BM.

Kéo dài MD’ cắt BB’ tại N. Đường thẳng CN cắt B’C’ tại I, ta được I là trung điểm B’C’.

Ta được thiết diện cần tìm là tam giác ICD’

Tính được: