Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Hai mặt phẳng vuông góc Kết nối tri thức

Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Hai mặt phẳng vuông góc bao gồm định nghĩa, tính chất của hai mặt thẳng vuông góc. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.

1. Góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc

Cho hai mặt phẳng (P), (Q). Lấy các đường thẳng a, b tương ứng vuông góc với (P), (Q). Khi đó góc giữa a và b không phụ thuộc vào vị trí của a, b và được gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q).

Hai mặt phẳng (P), (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.

Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng vuông góc Kết nối tri thức

Chú ý: Nếu δ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) thì {0^0} \leqslant \delta \leqslant {90^0}.

Các bước để xác định góc của hai mặt phẳng cắt nhau:

Bước 1: Tìm giao tuyến c của (α) và (β)

Bước 2: Tìm hai đường thẳng a, b lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với c tại một điểm.

Bước 3: Góc giữa (α) và (β) là góc giữa a và b.

Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng vuông góc Kết nối tri thức

Ví dụ: Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC) và SA = \frac{{3a}}{2}. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng vuông góc Kết nối tri thức

Gọi góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là α

Gọi M là trung điểm của BC. Do ΔABC đều nên AM ⊥ BC (1)

Theo giả thiết SA ⊥ (ABC), suy ra theo (1) ta có SM ⊥ BC (2)

Lại có (SBC) ∩ (ABC) = BC (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \alpha = \widehat {SMA}

Ta có: AM = \sqrt {A{C^2} - C{M^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}

Xét tam giác SAM vuông tại A ta có:

\begin{matrix} \tan \alpha = \dfrac{{SA}}{{AM}} = \dfrac{3}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \hfill \\ \Rightarrow \alpha = {60^0} \hfill \\ \end{matrix}

Câu trắc nghiệm mã số: 9173,9130

2. Điều kiện hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng vuông góc Kết nối tri thức

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và SA vuông góc với mặt phẳng đáy.

a) Chứng minh rằng \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right).

b) Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh rằng: \left( {SBM} \right) \bot \left( {SAC} \right).

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng vuông góc Kết nối tri thức

a) Do SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC

Ta có: \left\{ \begin{gathered} BC \bot AB \hfill \\ BC \bot SA \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)

\Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)

b) Ta có: SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BM

Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B nên BM \bot AC

Ta có: \left\{ \begin{gathered} BM \bot SA \hfill \\ BM \bot AC \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow BM \bot \left( {SAC} \right)

\Rightarrow \left( {SBM} \right) \bot \left( {SAC} \right)

Câu trắc nghiệm mã số: 9971,9969

3. Tính chất hai mặt phẳng vuông góc

Với hai mặt phẳng vuông góc với nhau, bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Nhận xét: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Mỗi đường thẳng qua điểm O thuộc (P) và vuông góc với măt phẳng (Q) thì đường thẳng đó thuộc mặt phẳng (P).

Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SD. Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (AMN).

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng vuông góc Kết nối tri thức

Ta có: BD ⊥ AC, BD ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD))

=> BD ⊥ (SAC)

Mà MN // BD (do \frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SD}}) => MN ⊥ (SAC)

Vì vậy (SAC) ⊥ (AMN)

4. Góc nhị diện

Hình gồm hai nửa mặt phẳng (P), (Q) có chung bờ a được gọi là một góc nhị diện, kí hiệu là [P, a, Q]. Đường thẳng a và các nửa mặt phẳng (P), (Q) tương ứng được gọi là cạnh và các mặt của góc nhị diện đó.

Chú ý: Mỗi đường thẳng a trong một mặt phẳng chia mặt phẳng thành hai phần, mỗi phần cùng với a là một nửa mặt phẳng bờ a.

Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện [P, a, Q], vẽ các tia Ox, Oy tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện [P, a, Q] (goi tắt là góc phẳng nhị diện). Số đo của góc xOy không phụ thuộc vào vị trí của O trên a, được gọi là số đo của góc nhị diện [P, a, Q].

Chú ý: Mặt phẳng chứa góc phẳng nhị diện xOy của [P, a, Q] vuông góc với cạnh a.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}. Tính số đo góc nhị diện \left[ {S,BD,C} \right].

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng vuông góc Kết nối tri thức

Gọi O là giao điểm của AC và BD khi đó \left\{ \begin{gathered} CO \bot BD \hfill \\ SO \bot BD \hfill \\ \end{gathered} \right.

Do đó, góc phẳng nhị diện \left[ {S,BD,C} \right] bằng góc \widehat {SOC}

Xét tam giác SAO có: AO = SA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}

\widehat {SAO} = {90^0}

Nên tam giác SAO vuông cân tại A

\Rightarrow \widehat {SOA} = {45^0};\widehat {SOC} = {135^0}

Vậy số đo góc nhị diện \left[ {S,BD,C} \right] bằng 1350.

Chú ý:

  • Số đo của góc nhị diện có thể nhận giá trị từ 00 đến 1800. Góc nhị diện được gọi là vuông, nhọn, tù nếu nó có số đo tương ứng bằng, nhỏ hơn, lớn hơn 1800.
  • Đối với hai điểm M, N không thuộc đường thẳng a, ta kí hiệu [M, a, N] là góc nhị diện có cạnh a và các mặt tương ứng chứa M, N.
  • Hai mặt phẳng cắt nhau tạo thành bốn góc nhị diện. Nếu một trong bốn góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì các góc nhị diện còn lại cũng là góc nhị diện vuông.

5. Một số hình lăng trụ đặc biệt

a) Hình lăng trụ đứng

Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.

Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng vuông góc Kết nối tri thức

Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật và vuông góc với đáy.

Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng vuông góc Kết nối tri thức

b) Hình lăng trụ đều

  • Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
  • Hình lăng trụ đều có các mặt bên là các hình chữ nhật có cùng kích thước.

Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng vuông góc Kết nối tri thức

c) Hình hộp đứng

  • Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng, có đáy là hình bình hành.
  • Hình hộp đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật.

d) Hình hộp chữ nhật

  • Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
  • Hình hộp chữ nhật có các mặt bên là hình chữ nhật.
  • Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có độ dài bằng nhau và chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng vuông góc Kết nối tri thức

e) Hình lập phương

Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.

Hình lập phương có các mặt là hình vuông.

Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng vuông góc Kết nối tri thức

6. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

Một hình chóp là đều khi và chỉ khi đáy của nó là một hình đa giác đều và hình chiếu của đỉnh trên mặt phẳng đáy là tâm của mặt đáy.

Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng vuông góc Kết nối tri thức

Hình gồm các đa giác đều {A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}.{B_1}{B_2}{B_3}...{B_n} và các hình thang cân {A_1}{A_2}{B_1}{B_2};{A_2}{A_3}{B_3}{B_2}; …; {A_n}{A_1}{B_1}{B_n} được tạo thành như trong hoạt động 13 được gọi là hình chóp cụt đều (nói đơn giản là hình chóp cụt được tạo thành từ hình chóp đều S.{A_1}{A_2}{A_3}...{A_n} sau khi cắt đi chóp đều S.{B_1}{B_2}{B_3}...{B_n}), kí hiệu là {A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}.{B_1}{B_2}{B_3}...{B_n}.

Hình vẽ minh họa

Hai mặt phẳng vuông góc Kết nối tri thức

  • Các đa giác {A_1}{A_2}{A_3}...{A_n};{B_1}{B_2}{B_3}...{B_n} được gọi là hai mặt đáy, các hình thang {A_1}{A_2}{B_1}{B_2};{A_2}{A_3}{B_3}{B_2}; …; {A_n}{A_1}{B_1}{B_n} được gọi là mặt bên của hình chóp cụt.
  • Các đoạn thẳng {A_1}{B_1};{A_2}{B_2};...;{A_n}{B_n} được gọi là các cạnh bên, cạnh của các mặt đáy được gọi là các cạnh đáy của hình chóp cụt.
  • Đoạn thẳng HK nối hai tâm của đáy được gọi là đường cao của hình chóp cụt đều. Độ dài của đường cao được gọi là chiều cao của hình chóp cụt.
Câu trắc nghiệm mã số: 9179,9134
  • 3 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 KNTT