Luyện tập Hai mặt phẳng vuông góc KNTT

Từ giả thiết suy ra ABDC là hình thoi nên BC ⊥ AD.

Ta có:

BC ⊥ AD và BC ⊥ SD

=> BC ⊥ (SAD)

=> BC ⊥ SA.

Lại có theo giả thiết IH ⊥ SA => SA ⊥ (HCB) => SA ⊥ BH

Tính được:

Ta có:

=> Tam giác HBC có trung tuyến IH bằng nửa cạnh đáy BC nên hay BH ⊥ HC.

Từ đó suy ra (SAB) ⊥ (SAC). Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SDB) ⊥ (SDC)” là sai.

Hình vẽ minh họa:

Giả sử SA ⊥ (ABCD). Khi đó có đúng 2 mặt bên vuông góc với mặt đáy là (SAB), (SAD).

Dễ thấy rằng OA ⊥ (OBC), OB ⊥ (OCA), OC ⊥ (OAB)

Vậy bộ ba mặt phẳng vuông góc với nhau từng đôi một là (OAB), (OBC), (OCA).

Hình ảnh minh họa:

Vẽ DE ⊥ SC tại E.

Vì các tam giác SBC và SDC là các tam giác vuông có các cạnh tương ứng bằng nhau nên BE ⊥ SC và BE = DE.

Tam giác SBC vuông tại B và BE là đường cao nên

Khi đó

Vậy ((SCD), (SBC)) = (DE, BE).

Ta có:

Khi đó (DE, BE) = 60◦. Vậy ((SCD), (SBC)) = 60◦

Tam giác ABC cân tại B có M là trung điểm AC

=> BM ⊥ AC.

Ta có: (do SA ⊥ (ABC)) => BM ⊥ (SAC) => (SBM) ⊥ (SAC).

Ta có: (do SA ⊥ (ABC)) => BC ⊥ (SAB) => (SBC) ⊥ (SAB).

Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SAB) ⊥ (SAC)” là sai

Hình vẽ minh họa:

Tam giác SAC đều có I là trung điểm của SC => AI ⊥ SC.

Gọi H là trung điểm AC => SH ⊥ AC.

Mà (SAC) ⊥ (ABC) theo giao tuyến AC => SH ⊥ (ABC) => SH ⊥ BC.

Hơn nữa theo giả thiết tam giác ABC vuông tại C nên BC ⊥ AC.

Từ đó suy ra BC ⊥ (SAC) => BC ⊥ AI.

Từ đó suy ra (ABI) ⊥ (SBC).

Dùng phương pháp loại trừ thì khẳng định “(SBC) ⊥ (SAC)” là sai

Hình ảnh minh họa:

Dễ dàng xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng d đi qua S và song song với AB.

Trong mặt phẳng (SAB) có SH ⊥ AB => SH ⊥ d.

Ta có:

=> d ⊥ SK. Từ đó suy ra ((SAB), (SCD)) = (SH, SK) =

Trong tam giác vuông SHK ta có:

Hình vẽ minh họa:

Hình chóp tứ diện đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, ta tìm góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Gọi M, N là trung điểm các cạnh AD và BC, khi đó SM ⊥ AD và SN ⊥ BC (do các tam giác SBC; SAD là các tam giác đều).

Vì BC // AD nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng d qua S và song song AD, BC.

Vì SM ⊥ AD và SN ⊥ BC nên SM ⊥ d và SN ⊥ d mà SM ⊂ (SAD); SN ⊂ (SBC) góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là góc .

Mặt bên là các tam giác đều cạnh a nên ; MN = AB = a.

Khi đó:

(1) Nếu a ⊂ (P) và a ⊥ m thì a ⊥ (Q). ---> đúng

(2) Nếu b ⊥ m thì b ⊂ (P) hoặc b ⊂ (Q). ---> sai

(3) Nếu c // m thì c // (P) hoặc c // (Q). ---> đúng

(4) Nếu d ⊥ m thì d ⊥ (P). ---> sai

Hình vẽ minh họa:

Gọi tâm của đáy là O, M là trung điểm của CD

Trong (SOM), kẻ OH vuông góc với SM tại H

Khi đó ta có OH ⊥ (SCD). Mà OD ⊥ (SAC).

Do đó ((SCD), (SAC)) = (OH, OD) = = α.

Ta có OD = a,

Xét tam giác OSM vuông tại O ta có:

Xét tam giác OHD vuông tại H ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi Q là trung điểm BC => OQ ⊥ BC.

Ta có:

Do đó ((SBC), (ABCD)) = (SQ, OQ) =

Tam giác vuông SOQ ta có:

Vậy mặt phẳng (SBC) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc 60◦

Cho mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (Q), khi đó a nằm trên (P) hoặc song song với (P).

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC => AM ⊥ BC.

Ta có:

Do đó ((SBC),(ABC)) = (SM, AM) =

Tam giác ABC đều cạnh a, suy ra trung tuyến .

Tam giác vuông SAM ta có:

Ta có: a và b chỉ cần lần lượt nằm trong (P), (Q) cùng vuông góc với ∆ là đủ, thêm đồng quy với ∆ càng tốt nên có tất cả 2 mệnh đề đúng.