Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Hai đường thẳng vuông góc Kết nối tri thức

Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Hai đường thẳng vuông góc bao gồm định nghĩa, tính chất góc giữa hai đường thẳng, hai đường thẳng vuông góc. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.

1. Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian, kí hiệu là (a, b) là góc giữa hai đường thẳng a' và b' cùng đi qua một điểm và tương tự song song với a và b.

Hình vẽ minh họa

Hai đường thẳng vuông góc Kết nối tri thức

Ví dụ: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có tam giác ABC cân tại A và \widehat {BAC} = {120^0}. Lấy các điểm m,n lần lượt thuộc các cạnh AA',BB' sao cho MN//AB, các điểm P,Q lần lượt thuộc các cạnh AA',CC',\left( {P \ne M} \right) sao cho PQ//AC. Xác định các góc:

a) \left( {AB,AC} \right)

b) \left( {AB,B'C'} \right)

c) \left( {MN,PQ} \right)

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Hai đường thẳng vuông góc Kết nối tri thức

a) Trong mặt phẳng (ABC) có \widehat {BAC} = {120^0} nên \left( {AB,AC} \right) = {180^0} - {120^0} = {60^0}

b) Vì tam giác ABC cân tại A nên \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{{{180}^0} - \widehat {BAC}}}{2}= \frac{{{{180}^0} - {{120}^0}}}{2} = {30^0}

Ta có: BC//B’C’ nên \left( {AB,B'C'} \right) = \left( {AB,BC} \right) = \widehat {ABC} = {30^0}

c) Vì MN//AB, PQ//AC nên \left( {MN,PQ} \right) = \left( {AB,AC} \right) = {60^0}

Chú ý:

+ Để xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b, ta có thể lấy một điểm O thuộc đường thẳng a và qua đó kẻ đường thẳng b’ song song với b. Khi đó (a, b) = (a, b’).

+ Với hai đường thẳng a và b bất kì: {0^0} \leqslant \left( {a,b} \right) \leqslant {90^0}.

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M,N,K lần lượt là trung điểm của các cạnh AC,BC,AB. Tính góc giữa các đường thẳng:

a) MN và BD

b) KN và MD

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Hai đường thẳng vuông góc Kết nối tri thức

Vì MN // AB nên góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng góc giữa hai đường thẳng AB và BD, mà tam giác ABD là tam giác đều nên góc giữa hai đường thẳng AB và BD bằng 600.

Do đó \left( {MN,BD} \right) = \left( {AB,BD} \right) = {60^0}

Vì NK // AC nên góc giữa hai đường thẳng NK và MD bằng góc giữa hai đường thẳng AC và MD mà tam giác ACD là tam giác đều nên góc giữa hai đường thẳng AC và MD bằng 900.

Do đó \left( {KN,MD} \right) = \left( {AC,MD} \right) = {90^0}

Câu trắc nghiệm mã số: 42910,42906,42905

2. Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu là nếu góc giữa chúng bằng 900.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và tam giác SAC vuông tại S. Gọi M là trung điểm cạnh SB. Chứng minh rằng .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Hai đường thẳng vuông góc Kết nối tri thức

Ta có:

Tam giác SAC vuông tại S và O là trung điểm của AC nên SO = \frac{1}{2}AC

Lại có ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD suy ra SO = \frac{1}{2}BD

Mà O là trung điểm của BD nên tam giác SBD vuông tại S hay SD \bot SB

Vì OM//SD và SD \bot SB nên OM \bot SB.

Câu trắc nghiệm mã số: 10003,10002
  • 2 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 KNTT