Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Hàm số liên tục Kết nối tri thức

Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Hàm số liên tục bao gồm định nghĩa, tính chất của hàm số liên tục tại một điểm, một khoảng, một đoạn hoặc nửa đoạn. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số y = f\left( x \right) xác định trên khoảng \left( {a;b} \right) chứa điểm x_0. Hàm số y = f\left( x \right) được gọi là hàm số liên tục tại điểm x_0 nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).

Chú ý: Hàm số y = f\left( x \right) liên tục tại x_0 khi và chỉ khi \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số

a) \begin{gathered} f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}}{\text{ khi }}x \ne 5 \hfill \\ {\text{9 khi }}x = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} tại {x_0} = 5

b) f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{1 - \sqrt {2x - 3} }}{{2 - x}}{\text{ khi }}x \ne 2 \hfill \\ {\text{1 khi }}x = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. tại {x_0} = 2

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{x - 5}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \left( {x + 5} \right) = 10 \ne 9 = f\left( 5 \right)

Vậy hàm số không liên tục tại {x_0} = 5

b) Ta có:

\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{1 - \sqrt {2x - 3} }}{{2 - x}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {1 - \sqrt {2x - 3} } \right)\left( {1 + \sqrt {2x - 3} } \right)}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {1 + \sqrt {2x - 3} } \right)}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{4 - 2x}}{{\left( {2 - x} \right)\left( {1 + \sqrt {2x - 3} } \right)}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{2}{{1 + \sqrt {2x - 3} }} = 1 = f\left( 2 \right)

Vậy hàm số liên tục tại {x_0} = 2

Câu trắc nghiệm mã số: 34089,34090

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

  • Hàm số y = f\left( x \right) được gọi là liên tục trên khoảng \left( {a;b} \right) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.
  • Hàm số y = f\left( x \right) được gọi là liên tục trên đoạn \left[ {a;b} \right] nếu nó liên tục trên khoảng \left( {a;b} \right) và \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} {x^3} + x + 1{\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ 2x + 4{\text{ khi x}} \geqslant {\text{1}} \hfill \\ \end{gathered} \right. trên tập xác định của nó.

Hướng dẫn giải

Tập xác định D = \mathbb{R}

Ta có:

+ Trên khoảng \left( { - \infty ;1} \right) ta có: f\left( x \right) = 2x + 4 là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên \left( { - \infty ;1} \right).

+ Trên khoảng \left( {1; + \infty } \right) ta có:  f\left( x \right) = {x^3} + x + 1 là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên \left( {1; + \infty } \right).

+ Tại x_0 = 1 ta có: \left\{ \begin{gathered} f\left( 1 \right) = {1^3} + 1 + 1 = 3 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x + 4} \right) = 6 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^3} + x + 1} \right) = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.

Vì \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) nên không tồn tại \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)

Vậy hàm số không liên tục tại điểm x_0 = 1.

Tóm lại hàm số đã cho liên tục trên khoảng \left( { - \infty ;1} \right); \left( {1; + \infty } \right) và gián đoạn tại điểm x_0 = 1.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số f\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}} trên đoạn \left[ { - 1;1} \right].

Hướng dẫn giải

Tập xác định D = \left[ { - 1;1} \right]

Với \forall x \in \left( { - 1;1} \right) ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {1 - {x^2}} = \sqrt {1 - {x_0}^2} = f\left( {{x_0}} \right)

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \left( { - 1;1} \right)

Mặt khác \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = 0 = f\left( 1 \right) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = 0 = f\left( 1 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.

Vậy hàm số liên tục trên \left[ { - 1;1} \right].

Chú ý:

  • Hàm số đa thức và các hàm số y = \sin x;y = \cos x liên tục trên \mathbb{R}.
  • Các hàm số y = \tan x;y = \cot x;y = \sqrt x và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của nó.
Câu trắc nghiệm mã số: 34087,34072,34069

3. Một số tính chất cơ bản

Giả sử y = f\left( x \right);y = g\left( x \right) liên tục tại điểm {x_0}. Khi đó:

a) Các hàm số \left\{ \begin{gathered} y = f\left( x \right) + g\left( x \right) \hfill \\ y = f\left( x \right) - g\left( x \right) \hfill \\ y = f\left( x \right).g\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. liên tục tại {x_0}.

b) Hàm số y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} liên tục tại {x_0} nếu g\left( x \right) \ne 0

Chú ý: Nếu hàm số y = f\left( x \right) liên tục trên đoạn [a;b] và f\left( a \right).f\left( b \right) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c \in \left( {a;b} \right) sao cho f\left( c \right) = 0.

Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình \left( {1 - {m^2}} \right){x^5} - 3x - 1 = 0 luôn có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đặt \left( {1 - {m^2}} \right){x^5} - 3x - 1 = f\left( x \right)

Hàm số f\left( x \right) = \left( {1 - {m^2}} \right){x^5} - 3x - 1 liên tục trên \mathbb{R} nên hàm số liên tục trên \left[ { - 1;0} \right]

Ta có: f\left( 0 \right) = - 1

f\left( { - 1} \right) = {m^2} + 1 > 0;\forall m nên f\left( 0 \right).f\left( { - 1} \right) < 0

Vậy phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng \left( { - 1;0} \right) nên phương trình luôn có nghiệm.

Câu trắc nghiệm mã số: 34091
  • 3 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 KNTT