Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Kết nối tri thức

Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian bao gồm cách xác định mặt phẳng, xác định giao tuyến và thiết hiện của hình trong không gian. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.

1. Khái niệm mở đầu

Mặt gương, mặt nước lúc tĩnh lặng, … là một số ví dụ về một phần của mặt phẳng. Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn.

Chú ý:

+ Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng một hình bình hành và viết tên của mặt phẳng vào một góc của hình.

+ Để kí hiệu mặt phẳng ta dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp đặt trong dấu ( ).

Hình vẽ minh họa

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Kết nối tri thức

+ Điểm E thuộc mặt phẳng (P) kí hiệu là E \in \left( P \right).

+ Điểm F không thuộc mặt phẳng (P) kí hiệu là F \notin \left( P \right).

+ Nếu E \in \left( P \right) ta còn nói E nằm trên (P) hoặc (P) chứa E, hoặc (P) đi qua E.

Chú ý: Hình biểu diễn của một hình không gian cần tuân thủ những quy tắc sau:

- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.

- Hình biểu diễn giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.

- Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn để biểu diễn cho đường bị che khuất.

2. Các tính chất thừa nhận

  • Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
  • Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
  • Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Nhận xét:

+ Một mặt phẳng hoàn toàn xác định nếu biết ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng đó.

+ Kí hiệu mặt phẳng đi qua ba điểm M, N, P không thẳng hàng là (MNP).

+ Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm đó đồng phẳng.

+ Nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói nhưng điểm đó không đồng phẳng.

Ví dụ: Cho hình vẽ:

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Kết nối tri thức

a) Hãy chỉ ra 2 ví dụ về 4 điểm không đồng phẳng.

b) Kể tên các mặt phẳng.

Hướng dẫn giải

a) Ví dụ về 4 điểm không đồng phẳng là:

+ Bốn điểm E; F; H; G

+ Bốn điểm E; F; I; H

b) Các mặt phẳng là: (EFG); (EGH); (EHI); (EIF); (FIHG); (EFH); (EGI).

Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Chú ý: Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P) thì ta nói đường thẳng d nằm trong (P) hoặc (P) chứa d. Kí hiệu là \left[ \begin{gathered} d \subset \left( P \right) \hfill \\ \left( P \right) \supset d \hfill \\ \end{gathered} \right.

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì các điểm chung của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua điểm chung đó.

Chú ý: Đường thẳng d (nếu có) của hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng đó, kí hiệu là d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)

  • Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm cùng thuộc cả hai mặt phẳng.
  • Trên mỗi mặt phẳng tất cả các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

Ví dụ: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Trên các đoạn AB, AC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song song với BC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD) và (MNP).

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Kết nối tri thức

Ta có: \left\{ \begin{gathered} P \in BD \hfill \\ BD \subset \left( {BCD} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow P \in \left( {BCD} \right)

Mà P \in \left( {MNP} \right)

Suy ra P là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (MNP).

Trong mặt phẳng (ABC) gọi E = MN \cap BC

\left\{ \begin{gathered} E \in BC \hfill \\ BC \subset \left( {BCD} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow E \in \left( {BCD} \right)

\left\{ \begin{gathered} E \in MN \hfill \\ MN \subset \left( {MNP} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow E \in \left( {MNP} \right)

Suy ra E là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (MNP).

Vậy PE là giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD) và (MNP).

3. Cách xác định một mặt phẳng

Một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết

+ nó đi qua ba điểm không thẳng hàng.

+ nó đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.

+ nó chứa hai đường thẳng cắt nhau.

4. Hình chóp và hình tứ diện

Ví dụ hình chóp

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Kết nối tri thức

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Kết nối tri thức

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Kết nối tri thức

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Kết nối tri thức

Ví dụ hình tứ diện

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Kết nối tri thức

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Kết nối tri thức

a) Trong mặt phẳng (α) cho đa giác A_1A_2...A_n. Lấy điểm S ở ngoài (α) và nối S với tất cả các đỉnh của đa giác A_1A_2...A_n. Hình gồm đa giác A_1A_2...A_n và n tam giác SA_1A_2, SA_2A_3, . . . , SA_nA_1 gọi là hình chóp và kí hiệu là S.A_1A_2...A_n.

b) Hình chóp tam giác S.ABC còn gọi là tứ diện SABC.

c) Thiết diện (hay mặt cắt) của hình H khi cắt mặt phẳng (α) là phần chung của H và (α)

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD. Trên cạnh SC lấy điểm M, các điểm N; P lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Kết nối tri thức

Gọi \left\{ \begin{gathered} E = MN \cap CD \hfill \\ F = MN \cap BC \hfill \\ I = MF \cap SB \hfill \\ J = ME \cap SB \hfill \\ \end{gathered} \right.. Khi đó thiết diện là ngũ giác MINPJ.

Câu trắc nghiệm mã số: 44654,44653,44647,44646
  • 14 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 KNTT