Phép chiếu song song Kết nối tri thức

Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Phép chiếu song song bao gồm định nghĩa, tính chất của phép chiếu song song và hình biểu diễn của một hình không gian. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.

1. Phép chiếu song song

Hình vẽ minh họa

Chú ý: Nếu một đường thẳng có phương trùng với phương chiếu thì hình chiếu của đường thẳng đó là một điểm.

Ví dụ: Cho đoạn thẳng song song với mặt phẳng . Gọi lần lượt là hình chiếu song song của và trên theo phương của đường thẳng d cho trước. Chứng minh rằng . Hỏi rằng nếu hỏi ngược lại thì có đúng không?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Suy ra

Ta có:

Vậy là hình bình hành. Suy ra

Nếu ngược lại là sai:

Giả sử lấy điểm trên sao cho thì hình chiếu của vẫn là và . Nhưng không song song với mặt phẳng .

2. Tính chất của các phép chiếu song song

Hình vẽ minh họa

Hình vẽ minh họa

Hình vẽ minh họa

Ví dụ: Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng (P) chứa tam giác ABC. G là trọng tâm của tam giác SAB.

a) Tìm ảnh của G trong phép chiếu song song trên mặt phẳng (P) theo phương SC.

b) Gọi M; N; E lần lượt là trung điểm của SA; SB; SC. Tìm ảnh của MN và của tam giác MNE trong phép chiếu song song trên mặt phẳng (P) theo phương SC.

c) Tìm ảnh của tam giác MNE trong phép chiếu song song trên (P) theo phương trung tuyến SI của tam giác SAB.

Hướng dẫn giải

a) Dựa vào tỉ số trọng tâm tam giác suy ra:

Ảnh của G trong phép chiếu song song trên mặt phẳng (P) theo phương SC là trọng tâm của tam giác ABC.

b) Gọi M; N lần lượt là trung điểm của CA và CB.

Suy ra ảnh của MN và của tam giác MNE trong phép chiếu song song trên mặt phẳng (P) theo phương SC lần lượt là M; N và tam giác M’N’C

c) Từ M; N; E và các đường thẳng song song với SI cắt AB tại H K, cắt CI tại F.

Suy ra H; K; F lần lượt là trung điểm của AI; BI; CI.

Ảnh của tam giác MNE trong phép chiếu song song trên (P) theo phương trung tuyến SI là tam giác HKE.

3. Hình biểu diễn của một hình không gian

Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là hình chiếu song song của hình H trên một mặt phẳng theo một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.

a) Một tam giác bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một tam giác tùy ý cho trước (có thể là tam giác đều, tam giác cân, tam giác vuông, …)

b) Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình bình hành tùy ý cho trước (có thể là hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, . . .)

c) Một hình thang bất kì bao giờ cũng có thể coi là hình biểu diễn của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài hai đáy của hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ dài hai đáy của hình đã cho.

d) Người ta thường dùng hình elip để biểu diễn hình tròn.