Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Thể tích Kết nối tri thức

Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Thể tích bao gồm các công thức tính thể tích khối chóp, khối chóp cụt, khối lăng trụ và khối hộp. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.

1. Định nghĩa các hình khối

  • Phần không gian được giới hạn bởi hình chóp, hình chóp cụt đều, hình lăng trụ, hình hộp tương ứng được gọi là khối chóp, khối chóp cụt đều, khối lăng trụ, khối hộp.
  • Đỉnh, mặt, cạnh, đường cao của các khối hình đó lần lượt là đỉnh, mặt, cạnh, đường cao của hình chóp, hình chóp cụt đều, hình lăng trụ, hình hộp tương ứng.

2. Công thức tính thể tích khối chóp, khối chóp cụt đều

Thể tích của khối chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao.

Khối chóp: V = \frac{1}{3}.S.h

Trong đó S là diện tích đáy, h là chiều cao.

Khối chóp cụt đều: V = \frac{1}{3}.h.\left( {S + S' + \sqrt {S.S'} } \right)

Trong đó S là diện tích đáy lớn, S’ là diện tích đáy nhỏ, h là chiều cao

Ví dụ: Một hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc giữa SA và mặt phẳng\left( {SBC} \right) bằng {45^0}. Tính thể tích khối chóp S.ABC đã cho.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Thể tích Kết nối tri thức

Gọi M là trung điểm của BC thì \left\{ \begin{gathered} AM \bot BC \hfill \\ SA \bot BC \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)

Từ đây dễ thấy góc cần tìm là \alpha = \widehat {ASM} = {45^0}

Do đó tam giác SAM vuông cân tại A và SA = AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}

\Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{8}

Ví dụ: Cho khối chóp S.ABCD có SA \bot \left( {ABCD} \right); đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a;AD = a\sqrt 3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết mặt phẳng \left( {SBC} \right) tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 60^0.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Thể tích Kết nối tri thức

Ta có: {S_{ABCD}} = {a^2}\sqrt 3

Vì \left\{ \begin{gathered} \left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC \hfill \\ BC \bot SB \subset \left( {SBC} \right) \hfill \\ BC \bot AB \subset \left( {ABCD} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.

\Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SB;AB} \right) = \widehat {SBA}

Vậy \widehat {SBA} = {60^0}

Xét tam giác vuông SAB có

\tan {60^0} = \frac{{SA}}{{AB}} \Rightarrow SA = AB.\tan {60^0} = a\sqrt 3

Vậy {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.{a^2}\sqrt 3 .a\sqrt 3 = {a^3}

Ví dụ: Cho hình chóp cụt tam giác đều ABC.A’B’C’ có đường cao HH’ = 2a. Biết AB=2a, A’B’=a. Tính thể tích hình chóp cụt ABC.A’B’C’.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Thể tích Kết nối tri thức

Áp dụng công thức V = \frac{1}{3}.h.\left( {S + S' + \sqrt {S.S'} } \right)

Với \left\{ \begin{gathered} S = {a^2}.\sqrt 3 \hfill \\ S' = \frac{{{a^2}.\sqrt 3 }}{4} \hfill \\ h = 2a \hfill \\ \end{gathered} \right., khi đó:

V = \frac{1}{3}.2a.\left( {{a^2}\sqrt 3 + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + \sqrt {{a^2}\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}} } \right)

= \frac{{7{a^3}\sqrt 3 }}{6}

Một số công thức tính thể tích hình trụ đặc biệt

Thể tích Kết nối tri thức

Câu trắc nghiệm mã số: 43369,43368,43409,43278

3. Công thức tính thể tích khối lăng trụ

Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

V = S.h

Trong đó S là diện tích đáy, h là chiều cao

Hình vẽ minh họa

Thể tích Kết nối tri thức

Ví dụ: Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông, đường chéo BD = 2a. Biết góc giữa hai mặt phẳng \left( {A'BD} \right) và mặt phẳng \left( {ABCD} \right) bằng {30^0}. Khi đó thể tích hình hộp chữ nhật bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Thể tích Kết nối tri thức

Gọi góc giữa hai mặt phẳng \left( {A'BD} \right) và mặt phẳng \left( {ABCD} \right) là \alpha và O = AC \cap BD

Ta có: \left\{ \begin{gathered} AO \bot BD \hfill \\ AA' \bot BD \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow A'O \bot BD

\Rightarrow \alpha = \left( {AO;A'O} \right) = \widehat {AOA'} = {30^0}

Ta có ABCD là hình vuông, BD = 2a nên AB = AD = a\sqrt 2

Ta có: AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = a

Xét tam giác AOA’ có AA' = AO.\tan {30^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}

\Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AA'.{S_{ABCD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.2{a^2} = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}

Ví dụ: Khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A. Biết AB = 2a và góc giữa đường thẳng BC' và mặt phẳng \left( {ACC'A'} \right) bằng {30^0}. Tính thể tích khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C'.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Thể tích Kết nối tri thức

Ta có: \left\{ \begin{gathered} AB \bot AC \hfill \\ AB \bot AA\prime \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {ACC'A'} \right)

Suy ra \left( {BC';\left( {ACC'A'} \right)} \right) = \left( {BC';AC'} \right) = \widehat {AC'B} = {30^0}

Ta có: AC' = \frac{{AB}}{{\tan {{30}^0}}} = 2\sqrt 3 a

\Rightarrow AA' = \sqrt {12{a^2} - 4{a^2}} = 2\sqrt 2 a

Vậy {V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = 2\sqrt 2 a.\frac{1}{2}.2a.2a = 4\sqrt 2 {a^3}

Câu trắc nghiệm mã số: 43267,43359,43318,43258
  • 3 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 KNTT