Bộ tài liệu Lí thuyết Toán 11 Kết nối tri thức: Khoảng cách bao gồm định nghĩa, tính chất và cách tính khoảng cách trong không gian. Ngoài ra có các bài tập ứng dụng có hướng dẫn chi tiết, được xây dựng dựa trên kiến thức trọng tâm chương trình Toán 11 KNTT giúp các em dễ dàng ôn tập củng cố.
Hình vẽ minh họa
Chú ý:
Nhận xét: Khoảng cách từ M đến đường thẳng a (mặt phẳng (P)) là khoảng cách nhỏ nhất giữa M và một điểm thuộc a (hoặc thuộc (P)).
Chú ý: Khoảng cách từ đỉnh đến mặt phẳng chứa mặt đáy của một hình chóp được gọi là chiều cao của hình chóp đó.
Ví dụ: Cho hình chóp có đáy
là tam giác vuông tại B,
. Biết rằng
. Tính khoảng cách:
a) Từ điểm B đến đường thẳng BC.
b) Từ điểm A đến mặt phẳng .
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
a) Ta có:
Kẻ tại H thì
Theo định lí Pythagore ta tính được:
Xét tam giác SBC vuông tại B có đường cao BH
Khi đó
b) Kẻ tại K ta có:
Xét tam giác SAB vuông tại A có đường cao AK
Khi đó
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a, kí hiệu là là khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến (P).
Hình vẽ minh họa
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q) kí hiệu là là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Hình vẽ minh họa
Ví dụ: Cho hình hộp có
là hình thoi cạnh a,
;
. Tính:
a)
b)
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
a) Gọi H là hình chiếu của A trên BC
Khi đó
Vì tam giác ABC đều cạnh bằng a nên
b) Vì là hình hộp nên
Gọi I là hình chiếu của A trên CD
Vì tam giác ACD đều cạnh bằng a nên
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song m và n kí hiệu là là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.
Ví dụ: Cho hình lập phương cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách:
a) Từ điểm A đến mặt phẳng .
b) Giữa hai đường thẳng song song BC và A’D’.
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
a) Gọi O là giao điểm của AC và BD, kẻ AH vuông góc với A’O tại H
Ta có: là hình vuông cạnh a, tâm O nên
Tam giác AOA’ vuông tại A, đường cao AH nên ta tính được
Do đó
b) Ta có
Do đó
Chú ý: Khoảng cách giữa hai đáy của một hình lăng trụ được gọi là chiều cao của hình lăng trụ đó.
Hình vẽ minh họa
Ví dụ: Cho hình chóp có đáy
là tam giác vuông tại B,
. Biết rằng
.. Tính khoảng cách giữ hai đường thẳng AB và SC?
Hướng dẫn giải
Hình vẽ minh họa
Dựng hình bình hành vì tam giác ABC vuông cân tại B nên
là hình vuông.
Vì
Kẻ tại E mà
nên
Vì mặt phẳng chứa SC và song song với AB
Suy ra
Từ (*) và (**) suy ra
Vì tam giác SAD vuông cân tại A, đường cao AE nên
Nhận xét: