Lớp 11 Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Ôn tập chương 1 Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác KNTT

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao
  • Bài kiểm tra này bao gồm 15 câu
  • Điểm số bài kiểm tra: 15 điểm
  • Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
  • Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu
Bắt đầu làm bài
00:00:00
  • Câu 1: Nhận biết
    Tìm tập xác định hàm số

    Tập xác định của hàm số f(x) = \tan x là:

    Hướng dẫn:

    Ta có: f(x) = \tan x xác định khi và chỉ khi

    \cos x eq 0

    \Leftrightarrow x eq \frac{\pi}{2} +k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy tập xác định của hàm số là: \mathbb{R}\backslash\left\{ (2k +1).\frac{\pi}{2}|k\mathbb{\in Z} ight\}

  • Câu 2: Thông hiểu
    Tìm hàm số lẻ

    Cho các hàm số y = \cos x;y = \sin x;y = \tan x;y = \cot x. Trong các hàm số trên, có bao nhiêu hàm số lẻ?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    y = \cos x là hàm số chẵn vì:

    Tập xác định của hàm số D\mathbb{= R}

    Với \forall x \in D \Rightarrow - x \in D

    f( - x) = \cos( - x) = \cos x = f(x)

    y = \sin x là hàm số lẻ vì:

    Tập xác định của hàm số D\mathbb{= R}

    Với \forall x \in D \Rightarrow - x \in D

    f( - x) = \sin( - x) = - \sin x = - f(x)

    y = \tan x là hàm số lẻ vì

    Tập xác định của hàm số D\mathbb{= R}\backslash\left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}

    Với \forall x \in D \Rightarrow - x \in D

    f( - x) = \tan( - x) = - \tan x = - f(x)

    y = \cot x là hàm số lẻ vì

    Tập xác định của hàm số D\mathbb{= R}\backslash\left\{ k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}

    Với \forall x \in D \Rightarrow - x \in D

    f( - x) = \cot( - x) = \cot( - x) = - f(x)

  • Câu 3: Thông hiểu
    Giải phương trình

    Phương trình  \cos\frac{\pi}{3} = \cos x có nghiệm là:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \cos\frac{\pi}{3} = \cos x

    \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} +k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

  • Câu 4: Thông hiểu
    Xác định điểm biểu diễn nghiệm

    Nghiệm của phương trình \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là những điểm nào?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}

    \Rightarrow \left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \\x = \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vậy điểm biểu diễn nghiệm phương trình là điểm A, điểm B.

  • Câu 5: Vận dụng
    Tính tổng các nghiệm phương trình

    Phương trình \left( \sqrt{3}\tan x - 1 ight)\left( sin^{2}x + 1 ight) = 0 có tổng các nghiệm trên (0;\pi) bằng:

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: \cos x eq 0 \Leftrightarrow x eq \frac{\pi}{2} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Do sin^{2}x + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R} nên phương trình đã cho tương đương với

    \sqrt{3}\tan x - 1 = 0

    \Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}

    \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Vì (0;\pi) \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}

  • Câu 6: Thông hiểu
    Xác định phương trình tương đương

    Phương trình 2\sin^{2}x - 4\sin x.\cos x + 4\cos^{2}x = 1 tương đương về phương trình nào trong các phương trình sau?

    Hướng dẫn:

    Theo bài ra ta có:

    2\sin^{2}x - 4\sin x.\cos x + 4\cos^{2}x =1

    \Leftrightarrow \left( 2\sin^{2}x +2\cos^{2}x ight) - 2.2\sin x. \cos x + \left( 2\cos^{2}x - 1 ight) =0

    \Leftrightarrow 2 - 2\sin2x + \cos2x =0

    \Leftrightarrow \cos2x - 2\sin2x = -2

  • Câu 7: Vận dụng cao
    Tính diện tích đa giác tạo bởi các điểm biểu diễn nghiệm

    Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình \tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4} ight) =1.

    Hướng dẫn:

    Hình vẽ minh họa

    Điều kiện \left\{ \begin{matrix}\cos x eq 0 \\\cos\left( x + \dfrac{\pi}{4} ight) eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}x eq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\x eq \dfrac{\pi}{4} + k\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Ta có:

    \tan x + \tan\left( x + \frac{\pi}{4}ight) = 1

    \Leftrightarrow \tan x + \frac{\tan x +1}{1 - \tan x} = 1

    \Leftrightarrow \tan x - tan^{2}x + \tanx + 1 = 1 - \tan x

    \Leftrightarrow tan^{2}x - 3tanx =0

    \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \tan x = 0 \hfill \\ \tan x = 3 \hfill \\ \end{gathered} ight.

    Với tanx = 0 ta được nghiệm x=k\pi

    Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn 2 điểm có nghiệm trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn bởi điểm A và B.

    Với tanx = 3 ta được x = acrtan 3 + kπ

    Kết hợp với điều kiện ở đầu bài và chọn hai nghiệm biểu diễn lần lượt bởi điểm C và D.

    Tính diện tích hình chữ nhật ABCD.

    \begin{matrix} \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{AT}}{{OT}} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \widehat {ADC} = \dfrac{\alpha }{2} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AC}}{2}} \\ {\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{{AD}}{2}} \end{array}} ight. \hfill \\ \Rightarrow 2\sin \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow AC.AD = \dfrac{6}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{5} \hfill \\ \end{matrix}

  • Câu 8: Thông hiểu
    Tìm điều kiện xác định của hàm số

    Với điều kiện xác định của các giá trị lượng giác, cho P = \dfrac{\sin2a + \sin5a - \sin3a}{1+ \cos a - 2\sin^{2}2a}. Đơn giản biểu thức P ta được:

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    P = \dfrac{\sin2a + \sin5a - \sin3a}{1 +\cos a - 2\sin^{2}2a}

    P = \frac{\sin2a + 2\cos4a.\sin a}{\cos4a +\cos a}

    P = \frac{2\sin a\cos a +2\cos4a.\sin a}{\cos4a + \cos a}

    P = \frac{2\sin a\left( \cos a + \cos4aight)}{\cos a + \cos4a}

    P = 2\sin a

  • Câu 9: Thông hiểu
    Tính số đo cung

    Cho cung lượng giác \mathop {AM}^{\displaystyle\frown} trên đường tròn lượng giác như hình vẽ. Số đo của cung \mathop {AM}^{\displaystyle\frown} bằng bao nhiêu?

    Hướng dẫn:

    Ta có: \widehat{MOB} = \frac{\pi}{4}\Rightarrow \widehat{AOM} = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} =\frac{5\pi}{4}

    Cung lượng giác \mathop {AM}^{\displaystyle\frown} có điểm đầu là A, điểm cuối là M và có hướng theo chiều dương.

    Vậy số đo cung AM là \frac{5\pi}{4} +k2\pi,\left( k\mathbb{\in Z} ight)

  • Câu 10: Thông hiểu
    Tính giá trị lượng giác

    Cho \sin x + \cos x = \sqrt{2}. Tính giá trị \sin2x bằng

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sin x + \cos x = \sqrt{2}

    \Rightarrow \left( \sin x + \cos x ight)^{2} = 2

    \Rightarrow 1 + 2\sin x.\cos x =2

    \Rightarrow \sin2x = 1

  • Câu 11: Thông hiểu
    Tính giá trị lượng giác

    Cho \sin x = - \frac{\sqrt{3}}{2} và \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi. Tính \cos\left( x + \frac{\pi}{3} ight).

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1

    \Rightarrow \cos^{2}x = 1 -\sin^{2}x

    \Rightarrow \cos^{2}x = 1 - \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} ight)^{2} = \frac{1}{4}

    \Rightarrow \cos x = \pm \frac{1}{2}

    Vì \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi nên \cos x > 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}

    Khi đó:

    \cos\left( x + \frac{\pi}{3} ight) = \cos x\cos\frac{\pi}{3} - \sin x\sin\frac{\pi}{3}

    = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} - \left( - \frac{\sqrt{3}}{2} ight).\frac{\sqrt{3}}{2} = 1

  • Câu 12: Nhận biết
    Tính độ dài cung

    Trên đường tròn bán kính 20cm. Tính độ dài của cung có số đo \frac{3\pi}{4}.

    Hướng dẫn:

    Độ dài cung tròn là: l = 20.\frac{3\pi}{4} = 15\pi(cm)

  • Câu 13: Thông hiểu
    Tính giá trị biểu thức P

    Cho \tan x + \cot x = 2 và x eq k\frac{\pi}{2};\left( k\mathbb{\in Z} ight). Tính giá trị biểu thức P = \tan^{2}x +\cot^{2}x.

    Hướng dẫn:

    Điều kiện xác định: x eq k.\frac{\pi}{2};\left( k\mathbb{\in Z} ight)

    Ta có:

    \tan x + \cot x = 2

    \Leftrightarrow \left( \tan x + \cot x ight)^{2} = 4

    \Leftrightarrow \tan^{2}x + 2\tan x.\cot x +\cot^{2}x = 4

    \Leftrightarrow \tan^{2}x + \cot^{2}x + 2= 4

    \Leftrightarrow \tan^{2}x + \cot^{2}x =2

  • Câu 14: Nhận biết
    Chọn mệnh đề đúng

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Đáp án đúng là: \sin(a + b) = \sin a\cos b + \sin b\cos a

  • Câu 15: Thông hiểu
    Chọn mệnh đề đúng

    Cho hàm số y = -2\sin\left( x + \frac{\pi}{3} ight) + 2. Mệnh đề nào sau đây đúng?

    Hướng dẫn:

    Ta có:

    - 1 \leq \sin\left( x + \frac{\pi}{3}ight) \leq 1

    \Rightarrow 2 \geq - 2\sin\left( x +\frac{\pi}{3} ight) \geq - 2

    \Rightarrow 4 \geq - 2\sin\left( x +\frac{\pi}{3} ight) + 2 \geq 0

    \Rightarrow 4 \geq y \geq 0

    Vậy y \geq 0;\forall x\mathbb{\inR} là mệnh đề đúng.

0/15
15 câu:
Kiểm tra Kiểm tra lại Bỏ qua Nộp bài

Chúc mừng Bạn đã hoàn thành bài!

Kết quả làm bài:
  • Nhận biết (20%):
    2/3
  • Thông hiểu (67%):
    2/3
  • Vận dụng (7%):
    2/3
  • Vận dụng cao (7%):
    2/3
  • Thời gian làm bài: 00:00:00
  • Số câu làm đúng: 0
  • Số câu làm sai: 0
  • Điểm số: 0
Làm lại
  • 23 lượt xem
Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 KNTT

Đăng nhập