Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Các công thức lượng giác CTST

1. Công thức cộng

\cos \left( {a + b} \right) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b

\cos \left( {a - b} \right) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b

\sin \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b

\sin \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b

\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}

\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}

Ví dụ: Chứng minh công thức:

a) \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) - \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \cos x

b) \tan x + \tan y = \frac{{2\sin \left( {x + y} \right)}}{{\cos \left( {x + y} \right) + \cos \left( {x - y} \right)}}

Hướng dẫn giải

a) BDVT = \sin x.\cos \frac{\pi }{4} + \cos x.\sin \frac{\pi }{4}

- \left( {\sin x.\cos \frac{\pi }{4} - \cos x.\sin \frac{\pi }{4}} \right)

= 2\cos x.\sin \frac{\pi }{4} = 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos x = \sqrt 2 \cos x = VP

b) BDVP = \frac{{2\left( {\sin x\cos y + \sin y\cos x} \right)}}{{\cos x\cos y - \sin x\sin y + \cos x\cos y + \sin x\sin y}}

= \frac{{2\left( {\sin x\cos y + \sin y\cos x} \right)}}{{2\cos x\cos y}} = \tan x.\tan y = VT

2. Công thức góc nhân đôi

a) Công thức nhân đôi

  • \sin 2a = 2\sin a.\cos b
  • \cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a
  • \tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}

b) Công thức nhân ba

  • \sin 3a = 3\sin a - 4{\sin ^3}a
  • \cos 3a = 4{\cos ^3}a - 3\cos a

c)  Công thức hạ bậc

\cos a = \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos 2a}}{2}} \sin a = \pm \sqrt {\frac{{1 - \cos 2a}}{2}}

Đặt t = \tan \frac{a}{2} ta có công thức sau:

\sin a = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} \cos a = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} \tan a = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}}

Ví dụ: Cho biết \tan \alpha = 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác \cos 2\alpha ;\sin 2\alpha ;\tan 2\alpha.

Hướng dẫn giải

Đặt \tan \alpha = t = 2

Ta có:

\sin 2\alpha = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} = \frac{{2.2}}{{1 + {2^2}}} = \frac{4}{5}

\cos 2\alpha = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = \frac{{1 - {2^2}}}{{1 + {2^2}}} = \frac{{ - 3}}{5}

\tan 2\alpha = \frac{2}{{1 - {t^2}}} = \frac{2}{{1 - {2^2}}} = \frac{{ - 4}}{3}

Câu trắc nghiệm mã số: 32869,32868

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

  • \sin a.\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]
  • \sin a.\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]
  • \cos a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]

Ví dụ: Biến đổi tích thành tổng:

a) A = 4\sin 3x\sin 2x\cos x

b) B = 4\cos \left( {a - b} \right)\cos \left( {b - c} \right)\cos \left( {c - a} \right)

Hướng dẫn giải

a) A = 4\sin 3x\sin 2x\cos x

A = 2\sin 3x\left( {\sin 3x + \sin x} \right)

A = 2{\sin ^2}3x + 2\sin 3x.\sin x

A = 2{\sin ^2}3x - \cos 4x + \cos x

b) B = 4\cos \left( {a - b} \right)\cos \left( {b - c} \right)\cos \left( {c - a} \right)

B = 2\cos \left( {a - b} \right).\left[ {\cos \left( {b - a} \right) + \cos \left( {b - 2c + a} \right)} \right]

B = 2\cos \left( {a - b} \right).\cos \left( {b - a} \right) + 2\cos \left( {a - b} \right).\cos \left( {b - 2c + a} \right)

B = 1 + \cos \left( {2a - 2b} \right) + \cos \left( {2a - 2c} \right) + \cos \left( {2c - 2b} \right)

Câu trắc nghiệm mã số: 32903,32896

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}

\cos a - \cos b = - \sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}

\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}

·\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}

\tan a + \tan b = \frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\cos a.\cos b}}

\tan a - \tan b = \frac{{\sin \left( {a - b} \right)}}{{\cos a.\cos b}}

\cot a + \cot b = \frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\sin a.\sin b}}

\cot a - \cot b = - \frac{{\sin \left( {a - b} \right)}}{{\sin a.\sin b}}

Ví dụ: Biến đổi tổng thành tích các biểu thức sau:

a) C = 2\sin 4a + \sqrt 2

b) D = 1 + \sin 2x - \cos 2x - \tan 2x

c) E = \sin 5x + \sin 6x + \sin 7x + \sin 8x

Hướng dẫn giải

a) C = 2\sin 4a + \sqrt 2

C = 2\left( {\sin 4a + \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)

C = 2\left( {\sin 4a + \sin \frac{\pi }{4}} \right)

C = 4\sin \left( {4a + \frac{\pi }{8}} \right).\cos \left( {2a - \frac{\pi }{8}} \right)

b) D = 1 + \sin 2x - \cos 2x - \tan 2x

D = 1 - \cos 2x + \sin 2x - \tan 2x

D = \left( {1 - \cos 2x} \right)\left( {1 - \tan 2x} \right)

D = 2{\sin ^2}x\left( {\tan \frac{\pi }{4} - \tan 2x} \right)

D = \frac{{2{{\sin }^2}x.\sin \left( { - 2x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}{{\cos \dfrac{\pi }{4}.\cos 2x}}

D = \frac{{2\sqrt 2 {{\sin }^2}x.\sin \left( { - 2x + \dfrac{\pi }{4}} \right)}}{{\cos 2x}}

c) E = \sin 5x + \sin 6x + \sin 7x + \sin 8x

E = 2.\sin \frac{{13x}}{2}\left( {\cos \frac{{3x}}{2} + \cos \frac{x}{2}} \right)

E = 4\cos \frac{{13x}}{2}.\cos x.\cos \frac{x}{2}

Câu trắc nghiệm mã số: 32899,32875
  • 17 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CTST