Luyện tập Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng CTST

Hình vẽ minh họa:

Gọi I là giao điểm của AC và BD

Ta có:

Ta có góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc SCI

=>

Xét tam giác BCD có:

Vì BC // AD =>

Xét tam giác SIC vuông tại I ta có:

Gọi O là trung điểm của AD

Xét tam giác AID cân tại I với trung tuyến IO ta có:

Dựng HI vuông góc với SO tại H =>

Ta có:

Gọi K là hình chiếu vuông goc của C trên mặt phẳng (SAD)

=> SK là hình chiếu vuông góc của CK trên mặt phẳng (SAD) và

=> Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) là

Hình vẽ minh họa:

Ta có: Tam giác SAC và tam giác SBD lần lượt là tam giác cân tại S

=> SO ⊥ AC, SO ⊥ BD

=> SO ⊥ (ABCD)

Mệnh đề: “Nếu a ⊥ (P) và a ⊥ b thì b // (P).” sai vì b có thể nằm trong (P).

Mệnh đề: “Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b // (P).” sai vì b có thể cắt P hoặc b nằm trong P.

Mệnh đề: “Nếu a // (P) và a ⊥ b thì b ⊥ (P).” sai vì b có thể nằm trong (P).

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

=> Hình chiếu vuông góc của SB trên mặt phẳng (SAD) là SA

=>

Xét tam giác SAB vuông ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC.

Do tam giác ABC và tam giác BCD lần lượt là tam giác cân tại A và tại D

=> BC ⊥ MA, BC ⊥ MD

=> BC ⊥ (ADM)

=> BC ⊥ AD

Hình vẽ minh họa:

Ta có: ABCD là hình thoi =>AB = AD mà nên tam giác ABD là tam giác đều (*)

Ta có: A’A = A’B = A’D nên hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. (**)

Từ (*) và (**) => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Hình vẽ minh họa:

Ta có: ABCD là hình thoi =>AB = AD mà nên tam giác ABD là tam giác đều (*)

Ta có: A’A = A’B = A’D nên hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD. (**)

Từ (*) và (**) => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Hình vẽ minh họa:

Ta có: Góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 45⁰ khi đó:

Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có:

Ta có: => Hình chiếu của SD trên mặt phẳng (SAC) là SO.

=>

=>

Hình vẽ minh họa:

Vì HA = HB, tam giác ABC cân => CH ⊥ AB

Ta có: SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ CH

Mà CH ⊥ AB => CH ⊥ (SAB)

Mặt khác AK thuộc mặt phẳng (SAB

=> CH ⊥ SA, CH ⊥ SB, CH ⊥ AK

Và AK ⊥ SB chỉ xảy ra khi và chỉ khi tam giác SAB cân tại S.

Hình vẽ minh họa:

Vì AH ⊥ (BCD) => AH ⊥ CD (*)

Do H là trực tâm tam giác BCD => BH ⊥ CD (**)

Từ (*) và (**) => CD ⊥ AH, CD ⊥ BH => CD ⊥ (ABH) => CD ⊥ AB

Mệnh đề sai: “Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.”

Vì qua một điểm O cho trước có vô số đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Trong không gian, tập hợp các điểm M cách đều hai điểm A và B là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O. Qua điểm O có đúng một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng Δ.

Hình vẽ minh họa:

Ta có: O và I lần lượt là trung điểm của AC và SC

=> OI là đường trung bình của tam giác SAC

=> OI // SA

Mà SA ⊥ (ABCD) => OI ⊥ (ABCD)

Ta có: ABCD là hình chữ nhật => BC ⊥ AB

Mà SA ⊥ BC => BC ⊥ SB

Tương tự ta có: CD ⊥ AD, CD ⊥ SA => CD ⊥ SD

Nếu (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD => BD ⊥ AC điều này không thể xảy ra vì ABCD là hình chữ nhật.

Vậy khẳng định sai là: “Mặt phẳng (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD.”