Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Các quy tắc tính đạo hàm CTST

1. Đạo hàm của hàm số y = {x^n},\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)

Hàm số y = {x^n},\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right) có đạo hàm trên \mathbb{R} và \left( {{x^n}} \right)' = n.{x^{n - 1}}.

Ví dụ: \left( x \right)' = 1;\left( {{x^2}} \right)' = 2x

Ví dụ: Cho hàm số y = f\left( x \right) = {x^7}. Xác định f'\left( 1 \right);f'\left( 2 \right)?

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số y = f\left( x \right) = {x^7} là:

f'\left( x \right) = \left( {{x^7}} \right)' = 7.{x^{7 - 1}} = 7.{x^6}

\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} f'\left( 1 \right) = {7.1^6} = 7 \hfill \\ f'\left( 2 \right) = {7.2^6} = 448 \hfill \\ \end{gathered} \right.

2. Đạo hàm của hàm số y = \sqrt x

Hàm số y = \sqrt x có đạo hàm trên khoảng \left( {0; + \infty } \right) và \left( {\sqrt x } \right)' = \frac{1}{{2\sqrt x }}

3. Đạo hàm của hàm số lượng giác

Công thức đạo hàm hàm lượng giác

\left( {\sin x} \right)' = \cos x \left( {\cos x} \right)' = - \sin x

\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} với x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

\left( {\cot x} \right)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}} với x \ne k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

3. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit

Công thức đạo hàm hàm số mũ và hàm số lôgarit

 \left( {{e^x}} \right)' = {e^x}

\left( {{a^x}} \right)' = {a^x}\ln a với 0 < a \ne 1

\left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x} với x \in \left( {0; + \infty } \right)

\left( {{{\log }_a}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln a}} vớix \in \left( {0; + \infty } \right),0 < a \ne 1
Câu trắc nghiệm mã số: 43723,43722

4. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số

Giả sử các hàm số u = u\left( x \right);v = v\left( x \right) có đạo hàm trên khoảng \left( {a,b} \right). Khi đó:

\left( {u + v} \right)' = u' + v' \left( {u - v} \right)' = u' - v'
\left( {uv} \right)' = u'v + uv' \left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}};\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)

Chú ý:

  • Với u = C,\left( {C = const} \right) \Rightarrow \left( {C.v} \right)' = C.v'
  • Với u = 1 \Rightarrow \left( {\frac{1}{v}} \right)' = - \frac{{v'}}{{{v^2}}};\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số:

a) y = \left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)

b) y = \frac{{m - 1}}{{{m^2} + 1}}

c) y = \left( {\sin x + 2\cos x} \right)\left( {\sin x - 2\cos x + 1} \right)

d) y = \frac{{\tan x - 1}}{{\cot x + 2}}

e) y = \frac{{{2^x} + 1}}{{{2^x} - 1}}

f) y = \left( {3\ln x + 2} \right)\left( {2{{\log }_3}x - 5} \right)

Hướng dẫn giải

a) y = \left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)

\Rightarrow y' = \left( {\sqrt a + 2} \right)'\left( {{a^2} + 1} \right) + \left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)'

= \frac{1}{{2\sqrt a }}\left( {{a^2} + 1} \right) + \left( {\sqrt a + 2} \right).2a

= \frac{{{a^2} + 1}}{{2\sqrt a }} + 2a\left( {\sqrt a + 2} \right)

b) y = \frac{{m - 1}}{{{m^2} + 1}}

\Rightarrow y' = \left( {\frac{{m - 1}}{{{m^2} + 1}}} \right)'

= \frac{{\left( {m - 1} \right)'\left( {{m^2} + 1} \right) - \left( {m - 1} \right)\left( {{m^2} + 1} \right)'}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}}

= \frac{{\left( {{m^2} + 1} \right) - \left( {m - 1} \right).2m}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}}= \frac{{ - {m^2} + 2m + 1}}{{{{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}}}

c) y = \left( {\sin x + 2\cos x} \right)\left( {\sin x - 2\cos x + 1} \right)

\Rightarrow y' = \left( {\sin x + 2\cos x} \right)'\left( {\sin x - 2\cos x + 1} \right)+ \left( {\sin x + 2\cos x} \right)\left( {\sin x - 2\cos x + 1} \right)'

= \left( {\cos x - 2\sin x} \right)\left( {\sin x - 2\cos x + 1} \right)+ \left( {\sin x + 2\cos x} \right)\left( {\cos x + 2\sin x} \right)

= \sin x.\cos x - 2{\cos ^2}x + \cos x - 2{\sin ^2}x+ 4\sin x\cos x - 2\sin x + \sin x\cos x

+ 2{\cos ^2}x + 2{\sin ^2}x + 4\sin x\cos x

= 10\sin x\cos x + \cos x - 2\sin x

d) y = \frac{{\tan x - 1}}{{\cot x + 2}}

\Rightarrow y' = \left( {\frac{{\tan x - 1}}{{\cot x + 2}}} \right)'

= \frac{{\left( {\tan x - 1} \right)'\left( {\cot x + 2} \right) - \left( {\cot x + 2} \right)'\left( {\tan x - 1} \right)}}{{{{\left( {\cot x + 2} \right)}^2}}}

= \frac{{\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\left( {\cot x + 2} \right) + \left( {\tan x - 1} \right)\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)}}{{{{\left( {\cot x + 2} \right)}^2}}}

= \frac{{2\cot x + 2\tan x + 2{{\tan }^2}x - {{\cot }^2}x + 1}}{{{{\left( {\cot x + 2} \right)}^2}}}

e) y = \frac{{{2^x} + 1}}{{{2^x} - 1}}

\Rightarrow y' = \left( {\frac{{{2^x} + 1}}{{{2^x} - 1}}} \right)'= \frac{{\left( {{2^x} + 1} \right)'\left( {{2^x} - 1} \right) - \left( {{2^x} - 1} \right)'\left( {{2^x} + 1} \right)}}{{{{\left( {{2^x} - 1} \right)}^2}}}

= \frac{{{2^x}\ln 2\left( {{2^x} - 1} \right) - {2^x}\ln 2\left( {{2^x} + 1} \right)}}{{{{\left( {{2^x} - 1} \right)}^2}}}

= \frac{{{2^x}\ln 2\left[ {\left( {{2^x} - 1} \right) - \left( {{2^x} + 1} \right)} \right]}}{{{{\left( {{2^x} - 1} \right)}^2}}}= \frac{{ - {2^{x + 1}}\ln 2}}{{{{\left( {{2^x} - 1} \right)}^2}}}

f) y = \left( {3\ln x + 2} \right)\left( {2{{\log }_3}x - 5} \right)

\Rightarrow y' = \left( {3\ln x + 2} \right)'\left( {2{{\log }_3}x - 5} \right) + \left( {3\ln x + 2} \right)\left( {2{{\log }_3}x - 5} \right)'

= \frac{3}{x}\left( {2{{\log }_3}x - 5} \right) + \frac{2}{{x\ln 3}}\left( {3\ln x + 2} \right)

= \frac{1}{x}\left( {6{{\log }_3}x + \frac{6}{{\ln 3}}\ln x - 15 + \frac{4}{{\ln 3}}} \right)

Câu trắc nghiệm mã số: 43611,43601

5. Đạo hàm của hàm hợp

Cho hàm số u = g\left( x \right) có đạo hàm u{'_x} tại x và hàm số y = f\left( u \right) có đạo hàm y{'_u} tại u thì hàm số hợp y = f\left( {g\left( x \right)} \right) có đạo hàm tại y{'_x} là y{'_x} = y{'_u}.u{'_x}.

Ta có bảng công thức đạo hàm các hàm hợp như sau:

Các quy tắc tính đạo hàm CTST

Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y = \sqrt {2 + \sin 3x}

b) y = {\ln ^2}\left( {3x + 2} \right)

c) y = \tan \left( {\cot x} \right)

d) y = {\log _3}\left( {{x^2} - x} \right)

Hướng dẫn giải

a) y = \sqrt{2 + sin3x}

\Rightarrow y' = \left( \sqrt{2 + sin3x} \right)' = \frac{(2 + sin3x)'}{2\sqrt{2 + sin3x}}

= \frac{cos3x.(3x)'}{2\sqrt{2 + sin3x}} = \frac{3cos3x}{2\sqrt{2 + sin3x}}

b) y = ln^{2}(3x + 2)

\Rightarrow y' = \left\lbrack ln^{2}(3x + 2) \right\rbrack' = 2ln(3x + 2)\left\lbrack \ln(3x + 2) \right\rbrack'

= 2ln(3x + 2).\frac{(3x + 2)'}{3x + 2} = \frac{6}{3x + 2}.ln(3x + 2)

c) y = \tan\left( \cot x \right)

\Rightarrow y' = \left\lbrack \tan\left( \cot x \right) \right\rbrack' = \frac{\left( \cot x \right)'}{cos^{2}\left( \cot x \right)} = - \frac{1}{sin^{2}xcos^{2}\left( \cot x \right)}

d) y = \log_{3}\left( x^{2} - x\right)

\Rightarrow y' = \left\lbrack log_{3}\left( x^{2} - x \right) \right\rbrack' = \frac{\left( x^{2} - x \right)'}{\left( x^{2} - x \right)ln3}

= \frac{2x - 1}{x(x - 1)ln3}

Câu trắc nghiệm mã số: 43746,43743

6. Đạo hàm cấp hai

Giả sử hàm số y = f\left( x \right) có đạo hàm tại mỗi điểm x \in \left( {a,b} \right). Nếu hàm số y' = f'\left( x \right) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y’ là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f\left( x \right) tại x, kí hiệu là y'' hoặc f''\left( x \right).

Ví dụ: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)?

Hướng dẫn giải

Ta có:

y = \tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right)

\Rightarrow y' = \left\lbrack \tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right) \right\rbrack'

= \dfrac{1}{\cos^{2}\left( x +\dfrac{\pi}{3} \right)} = 1 + \tan^{2}\left( x + \frac{\pi}{3}\right)

= \dfrac{1}{\cos^{2}\left( x +\dfrac{\pi}{3} \right)} = 1 + \tan^{2}\left( x + \frac{\pi}{3}\right)

y'' = \left\lbrack 1 +\tan^{2}\left( x + \frac{\pi}{3} \right) \right\rbrack'

= 2tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right)\left\lbrack \tan\left( x + \frac{\pi}{3} \right) \right\rbrack'

= \dfrac{2\tan\left( x + \dfrac{\pi}{3}\right)}{\cos^{2}\left( x + \dfrac{\pi}{3} \right)}

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Một chuyển động có phương trình s = f(t) thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số f(t) có gia tốc tức thời của chuyển động. Ta có: a(t) = f''(t)

Ví dụ: Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi công s(t) = 15 + \sqrt{2}\sin\left( 4\pi t + \frac{\pi}{6} \right) trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm t = 3 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hướng dẫn giải

Gia tốc của hạt tại thời điểm t là a(t) = s''(t) = - 16\pi^{2}\sqrt{2}\sin\left( 4\pi t + \frac{\pi}{6} \right)

Tại thời điểm t = 3s gia tốc của hạt là:

a(3) = - 16\pi^{2}\sqrt{2}\sin\left( 12\pi + \frac{\pi}{6} \right) \approx - 111,7\left( m^{2}/s \right)

Câu trắc nghiệm mã số: 43788
  • 19 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CTST