Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Giới hạn của hàm số CTST

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Cho điểm {x_0} thuộc khoảng K và hàm số y=f(x) xác định trên K hoặc K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\}.

Ta nói hàm số y=f(x) có giới hạn hữu hạn là số L khi x dần tới {x_0} nếu với dãy số \left( {{x_n}} \right) bất kì, {x_n} \in K\backslash \left\{ {{x_0}} \right\} và {x_n} \to {x_0} thì f\left( {{x_n}} \right) \to L, kí hiệu là \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L hay f\left( x \right) \to L khi x \to {x_0}.

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của hàm số

Định lí 1: Cho \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = P, \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = Q. Ta có:

\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = P + Q \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right] = P.Q
\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right] = P - Q \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{P}{Q},Q \ne 0

Định lí 2: Nếu \left\{ \begin{gathered} f\left( x \right) \geqslant 0;\forall x \in \left( {a,b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = P \hfill \\ \end{gathered} \right. thì \left\{ \begin{gathered} P \geqslant 0 \hfill \\ \lim \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt P \hfill \\ \end{gathered} \right..

Định lí 3: Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = P thì \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left| {f\left( x \right)} \right| = \left| P \right|.

Chú ý:

  • \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} c = c với c là hằng số
  • \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {x^n} = x_0^n;\forall n \in \mathbb{N^*}
  • \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {c.f\left( x \right)} \right] = c.\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) nếu c \in \mathbb{R},\exists \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \in \mathbb{R}

Ví dụ: Tính các giới hạn sau:

a) \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {3x + 1} \right)\left( {2 - 3x} \right)}}{{x + 1}}

b) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {4 + x} - 2}}{{4x}}

c) \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^4} - 16}}{{{x^3} + 2{x^2}}}

d) \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left| {\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}{{x - 1}}} \right|

Hướng dẫn giải

a) \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {3x + 1} \right)\left( {2 - 3x} \right)}}{{x + 1}} = \frac{{\left( { - 6 + 1} \right)\left( {2 + 6} \right)}}{{ - 2 + 1}} = 40

b) \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {4 + x} - 2}}{{4x}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {4 + x} - 2} \right)\left( {\sqrt {4 + x} + 2} \right)}}{{4x\left( {\sqrt {4 + x} + 2} \right)}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4 + x - 4}}{{4x\left( {\sqrt {4 + x} + 2} \right)}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{4\left( {\sqrt {4 + x} + 2} \right)}} = \frac{1}{{16}}

c) \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^4} - 16}}{{{x^3} + 2{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{{x^2}\left( {x + 2} \right)}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{{x^2}}} = - 8

d) \mathop {\lim }\limits_{x \to - 3} \left| {\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}{{x - 1}}} \right| = \left| {\frac{{\left( { - 3 + 1} \right)\left( {2 + 3} \right)}}{{ - 3 - 1}}} \right| = \frac{5}{2}

3. Giới hạn một phía

Giới hạn phải: Cho hàm số y=f\left( x \right) xác định trên \left( {{x_0},b} \right).

Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số y=f\left( x \right) khi x \to {x_0} nếu với mọi dãy \left( {{x_n}} \right):{x_0} < {x_n} < b mà {x_n} \to {x_0} thì ta có: f\left( {{x_n}} \right) \to L.

Kí hiệu: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L.

Giới hạn trái: Cho hàm số y=f\left( x \right) xác định trên \left( {a,{x_0}} \right).

Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y=f\left( x \right) khi x \to {x_0} nếu với mọi dãy \left( {{x_n}} \right):a < {x_0} < {x_n} mà {x_n} \to {x_0} thì ta có: f\left( {{x_n}} \right) \to L.

Kí hiệu: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = L.

Chú ý:

  • \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = L và \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = L khi và chỉ khi \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L
  • Nếu \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) thì không tồn tại \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)

Ví dụ: Tính giới hạn:

a) \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{{x - 2}}

b) \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4x + 4} }}{{x + 2}}

Hướng dẫn giải

a) \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} - 4} }}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)} }}{{x - 2}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {x + 2} }}{{\sqrt {x - 2} }} = + \infty

b) \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4x + 4} }}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\left| {x + 2} \right|}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x + 2}}{{x + 2}} = 1

4. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Hàm số y=f\left( x \right) xác định trên \left( {a, + \infty } \right) có giới hạn L khi {x_n} \to + \infty nếu với mọi dãy số \left( {{x_n}} \right):{x_n} > a và {x_n} \to + \infty thì f\left( {{x_n}} \right) \to L.

Kí hiệu \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = L

Hàm số y=f\left( x \right) xác định trên \left( { - \infty ,b} \right) có giới hạn L khi {x_n} \to - \infty nếu với mọi dãy số \left( {{x_n}} \right):{x_n} < b và {x_n} \to - \infty thì f\left( {{x_n}} \right) \to L.

Kí hiệu \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = L

Chú ý:

  • Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
  • Với c là hằng số ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } c = c;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } c = c
  • Với k là một số nguyên dương ta có: \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{x^k}}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{{x^k}}} = 0

Ví dụ: Tính giới hạn:

a) \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{{{x^3} + 1}}{{2{x^3} + 5}}}

b) \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{{{x^3} + 1}}{{2{x^3} + 5}}}

Hướng dẫn giải

a) \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{{x^3} + 1}}{{2{x^3} + 5}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\dfrac{{{x^3}\left( {1 + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)}}{{{x^3}\left( {2 + \dfrac{5}{{{x^3}}}} \right)}}} = \sqrt {\dfrac{1}{2}}

b) \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2} - x + 1} }}{{2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2}\left( {1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x\left( {2 + \dfrac{1}{x}} \right)}}

= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left| x \right|\sqrt {\left( {1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x\left( {2 + \dfrac{1}{x}} \right)}} = - \dfrac{1}{2}

5. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

Giới hạn phải: Cho hàm số y = f\left( x \right) xác định trên \left( {{x_0},b} \right). Hàm số y = f\left( x \right) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x \to {x_0} về bên phải với mọi dãy \left( {{x_n}} \right):{x_0} < {x_n} < b mà {x_n} \to {x_0} thì ta có: f\left( {{x_n}} \right) \to + \infty.

Kí hiệu: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = + \infty.

Giới hạn trái: Cho hàm số y = f\left( x \right) xác định trên \left( {a,{x_0}} \right). Hàm số y = f\left( x \right) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x \to {x_0} về bên trái với mọi dãy \left( {{x_n}} \right):a < {x_0} < {x_n} mà {x_n} \to {x_0} thì ta có: f\left( {{x_n}} \right) \to + \infty.

Kí hiệu: \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = + \infty.

Chú ý:

  • Các giới hạn một bên \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ - } f\left( x \right) = - \infty cũng được định nghĩa tương tự.
  • \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{1}{{x - a}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \frac{1}{{x - a}} = - \infty ;\left( {a \in \mathbb{R}} \right)
  • \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x^k} = + \infty ,\left( {\forall k \in {\mathbb{N}^*}} \right)
  • \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^k} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { + \infty {\text{ }}\forall {\text{k = 2n}}} \\ { - \infty {\text{ }}\forall {\text{k = 2n + 1}}} \end{array}} \right.\left( {n \in \mathbb{R}} \right)

Quy tắc tính giới hạn vô cực

Nếu  \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = P \ne 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \pm \infty thì \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right).g\left( x \right) được tính theo quy tắc sau đây:

\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right).g\left( x \right)
P > 0 + \infty + \infty
- \infty - \infty
P < 0 + \infty - \infty
- \infty + \infty

Ví dụ: Tính các giới hạn sau:

a) \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 2{x^3} + 2x\sqrt x - x + 1} \right)

b) \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 4}}{{\sqrt {{x^3} - 4x + 3} }}

c) \mathop {\lim }\limits_{x \to - \frac{3}{2}} \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}

d) \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x\sqrt {5x + 2} }}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}\sqrt {x + 11} }}

Hướng dẫn giải

a) \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - 2{x^3} + 2x\sqrt x - x + 1} \right)

= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 2 + \frac{2}{{x\sqrt x }} - \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty

b) \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 4}}{{\sqrt {{x^3} - 4x + 3} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - 4}}{{\sqrt {{x^3}\left( {1 - \dfrac{4}{{{x^2}}} + \dfrac{3}{{{x^3}}}} \right)} }} = 0

c) Ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \frac{3}{2}} \left[ {x\left( {x - 1} \right)} \right] = \frac{{15}}{4} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - \frac{3}{2}} \frac{1}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} = + \infty \hfill \\ \end{gathered} \right.

\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \frac{3}{2}} \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} = + \infty

d) Ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {\frac{{x\sqrt {5x + 2} }}{{\sqrt {x + 11} }}} \right) = \frac{{4\sqrt {22} }}{{15}} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{1}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}} = + \infty \hfill \\ \end{gathered} \right.

\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{x\sqrt {5x + 2} }}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}\sqrt {x + 11} }} = + \infty

  • 7 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CTST