Hàm số liên tục CTST

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $K$ và $x_{0} \in K$ . Hàm số $y = f(x)$ được gọi là liên tục tại $x_{0}$ nếu $\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = f\left( x_{0} \right)$ .

Nhận xét: Để hàm số $y = f(x)$ liên tục tại điểm $x_{0}$ phải có ba điều sau:

i) Hàm số xác định tại $x_{0}$ .

ii) Tồn tại $\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)$ .

iii) $\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = f\left( x_{0} \right)$ .

Chú ý: Khi hàm số $y = f(x)$ không liên tục tại $x_{0}$ thì ta nói $f(x)$ gián đoạn tại điểm $x_{0}$ và $x_{0}$ được gọi là điểm gián đoạn của hàm số $y = f(x)$ .

Ví dụ: Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{matrix} 3x - 5\ \ \ khi\ x \leq - 2 \\ ax - 1\ \ \ khi\ x > - 2 \\ \end{matrix} \right.$ . Với giá trị nào của tham số a thì hàm số $f(x)$ liên tục tại $x_{0} = - 2$ .

Hướng dẫn giải

Tập xác định $D=\mathbb{R}$ và $x = - 2 \in D$

Ta có: $f( - 2) = - 11$

$\lim_{x \rightarrow ( - 2)^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow ( - 2)^{-}}(3x - 5) = - 11$

$\lim_{x \rightarrow ( - 2)^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow ( - 2)^{-}}(ax - 1) = - 2a - 1$

Để hàm số liên tục tại điểm $x_{0} = - 2$ thì

$\lim_{x \rightarrow ( - 2)^{-}}f(x) = \lim_{x \rightarrow ( - 2)^{+}}f(x) = f( - 2)$

$\Leftrightarrow - 2a - 1 = - 11 \Leftrightarrow a = 5$

Vậy hàm số đã cho liên tục tại $x_{0} = - 2$ khi $a = 5$ .

Câu trắc nghiệm mã số: 34108

2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a;b)$ .

Hàm số $y = f(x)$ được gọi là liên tục trên khoảng $(a;b)$ nếu hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ .

Hàm số $y = f(x)$ được gọi là liên tục trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ nếu hàm số đó liên tục trên khoảng $(a;b)$ và $\left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Chú ý: Nếu hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $\lbrack a;b\rbrack$ và $f(a).f(b) < 0$ thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in (a;b)$ sao cho $f(c) = 0$ .

Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình $\left( m^{2} + m + 1 \right)x^{4} + 2x - 2 = 0$ luôn có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đặt $f(x) = \left( m^{2} + m + 1 \right)x^{4} + 2x - 2$

Hàm số $f(x) = \left( m^{2} + m + 1 \right)x^{4} + 2x - 2$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số liên tục trên $\lbrack 0;1\rbrack$ .

Ta có:

$f(0) = - 2$

$f(1) = m^{2} + m + 1 = \left( m + \frac{1}{2} \right)^{2} + \frac{3}{4} > 0\forall m$

Nên $f(0).f(1) < 0$

Vậy phương trình $\left( m^{2} + m + 1 \right)x^{4} + 2x - 2 = 0$ luôn có nghiệm.

Câu trắc nghiệm mã số: 34205,34102

3. Tính liên tục của hàm số sơ cấp

Các hàm đa thức $y = P(x)$ và hai hàm số lượng giác $y = \sin x,y = \cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$ .
Các hàm phân thức hữu tỉ $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$ , hàm số căn thức $y = \sqrt{P(x)}$ và hai hàm số lượng giác $y = \tan x,y = \cot x$ liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

Trong đó $P(x),Q(x)$ là các đa thức.

Nhận xét: Hàm số thuộc những loại trên được gọi chung là hàm số sơ cấp.

Ví dụ: Xét sự liên tục của hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} - x.\cos x{\text{ khi }}x < 0 \hfill \\ \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}{\text{ khi }}0 < x < 1 \hfill \\ {x^3}{\text{ khi }}x \geqslant 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .