Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Đạo hàm CTST

1. Đạo hàm

a) Định nghĩa đạo hàm

Hàm số y = f\left( x \right) liên tục trên \left( {a,b} \right), được gọi là có đạo hàm tại {x_0} \in \left( {a,b} \right).

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm {x_0}. Ta kí hiệu là f'\left( {{x_0}} \right) (hoặc y'\left( {{x_0}} \right)) tức là:

f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}

b) Cách tính đạo hàm

Để tính đạo hàm của hàm số y = f\left( x \right) tại điểm {x_0} \in \left( {a,b} \right) ta thực hiện theo các bước sau:

  • Bước 1: Tính f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)
  • Bước 2: Lập và rút gọn tỉ số \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} với x \in \left( {a,b} \right),x \ne {x_0}
  • Bước 3: Tính giới hạn \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = x + \sqrt {x - 1} tại {x_0} = 2.

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số D = \left[ {1; + \infty } \right)

Tại điểm {x_0} = 2 có {y_0} = 2 + \sqrt {2 - 1} = 3

Với 1 \leqslant x \ne 2, ta có:

\frac{{y - {y_0}}}{{x - {x_0}}} = \frac{{x + \sqrt {x - 1} - 3}}{{x - 2}}

= \frac{{\left( {x - 2} \right) + \left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)}}{{x - 2}} = 1 + \frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{x - 2}}

Do đó:

y'\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {1 + \frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{x - 2}}} \right)

= 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\frac{{\left( {\sqrt {x - 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}}} \right]

= 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 1 - 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}}

= 1 + \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\sqrt {x - 1} + 1}}= 1 + \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{3}{2}

Chú ý: Cho hàm số y = f\left( x \right) xác định trên khoảng \left( {a,b} \right). Nếu hàm số này có đạo hàm tại điểm x \in \left( {a,b} \right) thì ta nói đó có đạo hàm trên khoảng \left( {a,b} \right), kí hiệu f'\left( {{x_0}} \right) hoặc y'\left( {{x_0}} \right).

Cho hàm số y = f\left( x \right)  liên tục trên \left( {a,b} \right), có đạo hàm tại {x_0} \in \left( {a,b} \right).

  • Đại lượng \Delta x = x - {x_0} được gọi là số gia của biến tại {x_0}. Đại lượng \Delta y = f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right) gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó x = {x_0} + \Delta x và

f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{\Delta x}}

  • Tỉ số \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} biểu thị tốc độ thay đổi trung bình của đại lượng y theo đại lượng x trong khoảng từ {x_0} đến {x_0} + \Delta x; còn f'\left( {{x_0}} \right) biểu thị tốc độ thay đổi (tức thời) của đại lượng y theo đại lượng x tại điểm x_0.

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số f\left( x \right) = 3{x^3} - 1 tại {x_0} = 1 bằng định nghĩa.

Hướng dẫn giải

Xét số gia \Delta x của biến số tại điểm {x_0} = 1

Ta có:

\Delta y = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)= 3{\left( {1 + \Delta x} \right)^3} - 1 - \left( {{{3.1}^3} - 1} \right)

= 9\Delta x + 9{\left( {\Delta x} \right)^2} + 3{\left( {\Delta x} \right)^3}

\Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{9\Delta x + 9{{\left( {\Delta x} \right)}^2} + 3{{\left( {\Delta x} \right)}^3}}}{{\Delta x}}= 9 + 9\Delta x + 3{\left( {\Delta x} \right)^2}

Ta thấy:

\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left[ {9 + 9\Delta x + 3{{\left( {\Delta x} \right)}^2}} \right] = 9

Câu trắc nghiệm mã số: 43587

c) Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

  • Nếu hàm số s = f\left( t \right) biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian t thì f'\left( {{t_0}} \right) biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại điểm {t_0}.
  • Nếu hàm số T = f\left( t \right) biểu thị nhiệt độ T theo thời gian t thì f'\left( {{t_0}} \right) biểu thị tốc độ thay đổi nhiệt độ theo thời gian tại thời điểm {t_0}.
Câu trắc nghiệm mã số: 20956

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm của hàm số y = f\left( x \right) tại điểm x_0 là hệ số góc của tiếp tuyến {M_0}T của \left( C \right) tại điểm {M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right).

Tiếp tuyến {M_0}T có phương trình là: y - f\left( {{x_0}} \right) = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right).

Ví dụ: Gọi \left( C \right) là đồ thị của hàm số y = \frac{x}{{x - 1}}. Viết phương trình tiếp tuyến của của đồ thị hàm số (C):

a) Tại điểm M thuộc \left( C \right) có hoành độ {x_0} = 2.

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y = - x.

Hướng dẫn giải

Ta có: y' = f'\left( x \right) = - \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} trên khoảng \left( { - \infty ;1} \right),\left( {1; + \infty } \right)

a) Phương trình tiếp tuyến của \left( C \right) tại điểm M có hệ số góc  là:

y - f\left( 2 \right) = f'\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right)

\Leftrightarrow y - 2 = \left( { - 1} \right).\left( {x - 2} \right)

\Leftrightarrow y = - x + 4

b) Gọi d là tiếp tuyến cần tìm của \left( C \right) và {M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right) là tiếp điểm của \left( C \right) và d.

Vì đường thẳng d song song với đường thẳng có phương trình y = - x nên

f'\left( {{x_0}} \right) = - 1 \Rightarrow - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = - 1

\Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {x_0} - 1 = 1 \hfill \\ {x_0} - 1 = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.

\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} {x_0} = 2 \hfill \\ {x_0} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.

Với {x_0} = 2 phương trình tiếp tuyến tại điểm {M_0}\left( {2;2} \right) có hệ số góc f'\left( 2 \right) = 1 là:

y - f\left( 2 \right) = f'\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right)

\Leftrightarrow y - 2 = \left( { - 1} \right).\left( {x - 2} \right)

\Leftrightarrow y = - x + 4

Với {x_0} = 0 phương trình tiếp tuyến tại điểm {M_0}\left( {0;0} \right) có hệ số góc f'\left( 0 \right) = - 1 là:

\begin{matrix} y - f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow y - 0 = - \left( {x - 0} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow y = - x\left( {ktm} \right) \hfill \\ \end{matrix}

Vậy tiếp tuyến của \left( C \right) song song với đường thẳng y = - x là: y = - x + 4

3. Số e

\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{t}} \right)^t} = e với e = 2,718281828...

Mở rộng

\mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } {\left( {1 + \frac{1}{t}} \right)^t} = e \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}} = e
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1

\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1

 

Câu trắc nghiệm mã số: 20803,20792
  • 31 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CTST