Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Phép tính lũy thừa CTST

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Với số nguyên dương n, số thực a ≠ 0, lũy thừa của a với số mũ -n xác định bởi {a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}.

Ví dụ:

{\left( {\frac{2}{5}} \right)^{ - 2}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{2}{5}} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{4}{{25}}}} = \dfrac{{25}}{4}

{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^{ - 4}} = \dfrac{1}{{{{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)}^4}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^4}}}{{{3^4}}}}} = \dfrac{{{3^4}}}{{{1^4}}} = 81

{\left( { - 55} \right)^0} = 1

Chú ý: a) Với {a^0} = 1 với mọi a \in \mathbb{R},a \ne 0.

b) {0^0} và {0^{ - n}},\left( {n > 0} \right) không có nghĩa.

2. Căn bậc n

Cho số nguyên dương n, (n ≥ 2) và số thực b bất kì. Nếu có số thực a sao cho: {a^n} = b

thì a được gọi là một căn bậc n của b.

Cho n là số nguyên dương (n ≥ 2), b là một số thực bất kì. Khi đó:

- Nếu n là số chẵn thì:

  • b < 0 không tồn tại căn bậc n của b.
  • b = 0 có một căn bậc n của b là 0.
  • b > 0 có hai căn bậc n của b đối nhau, kí hiệu giá trị dương \sqrt[n]{b} và giá trị âm -\sqrt[n]{b}.

- Nếu n là số lẻ thì có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu là \sqrt[n]{b}.

Chú ý:

  • Nếu n chẵn thì căn thức \sqrt[n]{b} có nghĩa khi chỉ khi b \geqslant 0.
  • Nếu n lẻ thì căn thức \sqrt[n]{b} luôn có nghĩa với mọi số thực b.

Tính chất

Với điều kiện các căn thức đều có nghĩa ta có:

\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{{ab}} \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}} = \sqrt[n]{{\frac{a}{b}}}
{\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^m} = \sqrt[n]{{{a^m}}} \sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}
\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left\{ \begin{gathered} a{\text{ khi }}n = 2k + 1 \hfill \\ \left| a \right|{\text{ khi }}n = 2k \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {k \in {\mathbb{N}^*}} \right)

 

Ví dụ: Tính giá trị các biểu thức:

a) \sqrt[3]{{0,001}}

b) \sqrt[5]{{ - 32}}

c) \sqrt[4]{{\frac{{81}}{{16}}}}

d) - \sqrt[6]{{{{100}^3}}}

e) \sqrt[4]{{{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)}^4}}}

f) \sqrt[5]{{{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^5}}}

Hướng dẫn giải

a) \sqrt[3]{{0,001}} = \sqrt[3]{{{{10}^{ - 3}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {{{10}^{ - 1}}} \right)}^3}}} = {10^{ - 1}} = 0,1

b) \sqrt[5]{{ - 32}} = \sqrt[5]{{{{\left( { - 2} \right)}^5}}} = - 2

c) \sqrt[4]{{\frac{{81}}{{16}}}} = \sqrt[4]{{\frac{{{3^4}}}{{{2^4}}}}} = \sqrt[4]{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^4}}} = \frac{3}{2}

d) - \sqrt[6]{{{{100}^3}}} = - \sqrt[6]{{{{\left( {{{10}^2}} \right)}^3}}} = - \sqrt[6]{{{{10}^6}}} = - {10^1} = - 10

e) \sqrt[4]{{{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)}^4}}} = \left| {\sqrt 3 - 2} \right| = 2 - \sqrt 3

f) \sqrt[5]{{{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^5}}} = 2 - \sqrt 5

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực dương a và số hữu tỉ r = \frac{m}{n},\left( {m,n \in \mathbb{Z},n > 0} \right)

Lũy thừa a với số mũ r, kí hiệu là {a^r} được xác định bởi: {a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}.

Ví dụ: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức.

a) {8^{ - \frac{2}{3}}}

b) {32^{ - \frac{2}{5}}}

c) {81^{1,25}}

d) {1000^{ - \frac{2}{3}}}

e) {\left( {\frac{{16}}{{81}}} \right)^{ - \frac{1}{4}}}

Hướng dẫn giải

a) {8^{ - \frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{{{8^{ - 2}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {{2^3}} \right)}^{ - 2}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {{2^{ - 2}}} \right)}^3}}} = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4}

b) {32^{ - \frac{2}{5}}} = \sqrt[5]{{{{32}^{ - 2}}}} = \sqrt[5]{{{{\left( {{2^5}} \right)}^{ - 2}}}} = \sqrt[5]{{{{\left( {{2^{ - 2}}} \right)}^5}}} = {2^{ - 2}} = \frac{1}{4}

c) {81^{1,25}} = {81^{\frac{5}{4}}} = \sqrt[4]{{{{81}^5}}} = \sqrt[4]{{{{\left( {{3^4}} \right)}^5}}} = \sqrt[4]{{{{\left( {{3^5}} \right)}^4}}} = {3^5} = 243

d) {1000^{ - \frac{2}{3}}} = \sqrt[3]{{{{1000}^{ - 2}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {{{10}^3}} \right)}^{ - 2}}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {{{10}^{ - 2}}} \right)}^3}}} = {10^{ - 2}} = 0,01

e) {\left( {\frac{{16}}{{81}}} \right)^{ - \frac{1}{4}}} = \sqrt[4]{{{{\left( {\frac{{16}}{{81}}} \right)}^{ - 1}}}} = \sqrt[4]{{{{\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^4}} \right]}^{ - 1}}}}= \sqrt[4]{{{{\left[ {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{ - 1}}} \right]}^4}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - 1}} = \frac{3}{2}

4. Lũy thừa với số mũ thực

Giới hạn của dãy số \left( {{a^{{r_n}}}} \right) được gọi là lũy thừa của số thực dương a với số mũ \beta, kí hiệu là {a^\beta } ta có: 

{a^\beta } = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {a^{{r_n}}};\left( {\beta = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {r_n}} \right)

{1^\beta } = 1;\left( {\forall \beta \in \mathbb{R}} \right)

5. Tính chất của phép tính lũy thừa

Với a,b \in \mathbb{R^+},\alpha ,\beta \in \mathbb{R} ta có:

{a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }} {\left( {a.b} \right)^\alpha } = {a^\alpha }.{b^\alpha }
\frac{{{a^\alpha }}}{{{a^\beta }}} = {a^{\alpha - \beta }} {\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}
{\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha .\beta }}

 

Ví dụ: Cho a và b là hai số dương, a \ne b. Rút gọn biểu thức:

M = \left[ {\frac{{a - b}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{4}}}}} - \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}}}} \right]:\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)

Hướng dẫn giải

Ta có:

\frac{{a - b}}{{{a^{\frac{3}{4}}} + {a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{4}}}}} = \frac{{a - b}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}

Khi đó:

M = \left[ {\frac{{a - b}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}} - \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}}}} \right]:\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)

M = \left[ {\frac{{a - b}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}} - \frac{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}} \right]:\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)

M = \frac{{a - b - {a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}:\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)

M = \frac{{{a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{2}}} - b}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}:\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)

M = \frac{{{b^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {b^{\frac{1}{2}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}.\frac{1}{{\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}

M = \frac{{{b^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}\left( {{a^{\frac{1}{4}}} + {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}.\frac{1}{{\left( {{a^{\frac{1}{4}}} - {b^{\frac{1}{4}}}} \right)}}

M = \frac{{{b^{\frac{1}{2}}}}}{{{a^{\frac{1}{2}}}}} = {\left( {\frac{b}{a}} \right)^{\frac{1}{2}}}

Câu trắc nghiệm mã số: 36204,36201,36177
  • 7 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CTST