Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện CTST

1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng a với (P) bằng 900.

Hình vẽ minh họa

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện CTST

Nếu đường thẳng a không vuông góc với (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của a trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và (P).

Hình vẽ minh họa

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện CTST

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi α là góc giữa đường thẳng SC và (ABCD). Giá trị của \tan α bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc nhị diện CTST

Gọi H là trung điểm AB.

Vì tam giác ABC đều nên SH ⊥ AB

Ta có:

\left\{ \begin{gathered} \left( {SAB} ight) \bot \left( {ABCD} ight) \hfill \\ \left( {SAB} ight) \cap \left( {ABCD} ight) = AB \hfill \\ SH \subset \left( {SAB} ight) \hfill \\ SH \bot AB\left( {cmt} ight) \hfill \\ \end{gathered} ight. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} ight)

=> Hình chiếu của SC lên (ABCD) là HC.

\Rightarrow \,\alpha = \widehat {\left( {SC,\left( {ABCD} ight)} ight)} = \widehat {\left( {SC,HC} ight)} = \widehat {SCH} (Vì tam giác SHC vuông tại H)

Ta có: SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};HC = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + {a^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}

Xét tam giác SHC vuông tại H:

\tan \alpha = \tan \widehat {SCH} = \dfrac{{SH}}{{HC}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{5}

Vậy \tan \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{5}

Câu trắc nghiệm mã số: 2644

2. Góc nhị diện và góc phẳng nhị diện

Góc nhị diện

Hình gồm hai nửa mặt phẳng (P_1),(Q_1) có chung bờ d được gọi là một góc nhị diện, kí hiệu là [P_1, a, Q_1]. Đường thẳng d và các nửa mặt phẳng (P_1),(Q_1) tương ứng được gọi là cạnh và các mặt của góc nhị diện đó.

Hình vẽ minh họa

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện CTST

Chú ý:

  • Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d tạo thành bốn góc nhị diện.
  • Mỗi đường thẳng d trong một mặt phẳng chia mặt phẳng thành hai phần, mỗi phần cùng với d là một nửa mặt phẳng bờ d.

Góc phẳng nhị diện

Góc phẳng nhị diện của góc nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh của nhị diện có hai cạnh lần lượt nằm trên hai mặt của nhị diện và vuông góc với cạnh của nhị diện.

Chú ý:

a) Đối với một góc nhị diện, các góc phẳng nhị diện đều bằng nhau.

b) Nếu mặt phẳng (R) vuông góc với cạnh d của góc nhị diện và cắt hai mặt (P_1) và (Q_1) của góc nhị diện theo hai nửa đường thẳng Ou và Ov thì \widehat {uOv} là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện tạo bởi  (P_1) và (Q_1).

c) Góc nhị diện có góc phẳng nhị diện là góc vuông được gọi là góc nhị diện vuông.

d) Số đo góc phẳng nhị diện được gọi là số đo góc nhị diện.

e) Số đo góc nhị diện nhận giá trị từ 00 đến 1800.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết (SAB) ⊥ (ABCD), (SAD) ⊥ (ABCD) và SA= a. Tính côsin của số đo góc nhị diện [S; BD; C] và góc nhị diện [B; SC; D].

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện CTST

Ta có:

SO ⊥BD; CO⊥ BD nên góc nhị diện [S; BD; C] bằng góc SOC.

Vì tam giác SAO vuông tại A nên SO = \sqrt {S{A^2} + A{O^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} và \cos \widehat {SOC} = - \cos \widehat {SOA} = - \frac{{OA}}{{SO}} = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}

Kẻ BM⊥ SC tại M thì DM ⊥ SC nên [B; SC; D] là góc BMD.

Ta có BC⊥(SAB) nên tam giác SBC vuông tại B, tính được: \left\{ \begin{gathered} SB = a\sqrt 2 ;SC = a\sqrt 3 \hfill \\ DM = BM = \frac{{SB.BC}}{{SC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác BDM, ta có:

\cos \widehat {BMD} = \frac{{B{M^2} + D{M^2} - B{D^2}}}{{2BM.DM}} = - \frac{3}{4}

Câu trắc nghiệm mã số: 2714
  • 36 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CTST