Hai mặt phẳng song song CTST

1. Hai mặt phẳng song song

Cho hai mặt phẳng và , có các trường hợp sau:

	Trùng nhau	Cắt nhau	Song song
Định nghĩa	Hai mặt phẳng có ba điểm chung không thẳng hàng	Hai mặt phẳng phân biệt và có mộ điểm chung	Hai mặt phẳng không có bất kì điểm chung nào
Kí hiệu
Minh họa

2. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Định lí 1

Nếu mặt phẳng chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau và hai đường thẳng đó cùng song song với mặt phẳng thì song song với .

Minh họa

Chú ý: Nếu không thẳng hàng và thì

.Ví dụ: Cho hai hình bình hành và có chung cạnh và nằm trong hai mặt phẳng phân biệt. Gọi thứ tự là trung điểm của và theo thứ tự là trọng tâm các tam giác . Chứng minh .

Hướng dẫn giải

Gọi lần lượt là trung điểm của .

Vì I là trọng tâm của

Vì J là trọng tâm của

Từ (1), (2)

Bằng cách chứng minh tương tự, ta có:

Mà cùng thuộc

3. Tính chất của hai mặt phẳng song song

Định lí 3

Cho hai mặt phẳng và song song với nhau. Nếu cắt thì cắt và hai giao tuyến của chúng song song với nhau.

Minh họa

Ví dụ: Cho hình chóp . có đáy là hình bình hành và lần lượt là trung điểm của . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng đi qua và song song với mặt phẳng và cho biết thiết diện đó là hình gì?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Ta có:

Lại có:

Dễ thấy

Vậy thiết diện cần tìm là .

Ba mặt phẳng , đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là .

Mà .

Vậy thiết diện là một hình thang.

4. Định lí Thalès trong không gian

Ví dụ: Cho tứ diện và là các điểm lần lượt di động trên  sao cho: . Chứng minh rằng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Áp dụng định lý Thalès đảo cho và từ tỉ lệ:

Suy ra cùng song song với một mặt phẳng nào đó.

Ta chọn mặt phẳng chứa AB và song song với CD.

Mặt phẳng chính là mặt phẳng (ABE) với E ∈ (BCD) sao cho (BCDE) là hình bình hành.

Khi đó , mặt phẳng cố định vì AB, CD cố định.

Vậy là mặt phẳng cần tìm.

5. Hình lăng trụ và hình hộp

a) Hình lăng trụ

Hình vẽ minh họa

Đặc điểm của hình lăng trụ

• Hai đa giác ; là hai mặt đáy nằm trên hai mặt phẳng song song.
• Các điểm ; là các đỉnh.
• Các hình bình hành là các mặt bên.
• Các đoạn thẳng là các cạnh bên.
• Các cạnh của hai đa giác đáy là các cạnh đáy. Các cạnh đáy tương ứng song song bằng nhau.

Chú ý: Hình lăng trụ có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, … tương ứng được gọi là hình lăng trụ tam giác, hình lăng trụ tứ giác, hình lăng trụ ngũ giác, …

Hình vẽ minh họa

Ví dụ: Cho hình lăng trụ . Gọi  lần lượt là trung điểm các cạnh AC, AA’, AC’, BC. Chứng minh rằng (MNQ) // (A’B’C’).

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Ta có:

(vì QM là đường trung bình trong tam giác ABC)

Mặt khác:

(vì MN là đường trung bình của tam giác ACA’)

Từ (*) và (**)

b) Hình hộp

Minh họa

Đặc điểm của hình hộp

• Sáu mặt là sáu hình bình hành. Mỗi mặt đều có một mặt song song với nó. Hai mặt như thế gọi là hai mặt đối diện.
• Hai đỉnh không cùng nằm trên một mặt gọi là hai đỉnh đối diện.
• Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo.
• Bốn đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.