Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Hai đường thẳng vuông góc CTST

1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian, kí hiệu (a; b) là góc giữa hai đường thẳng a’, b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b.

Hình vẽ minh họa

Hai đường thẳng vuông góc CTST

Chú ý:

  • Để xác định góc giữa hai đường thẳng a, b ta có thể lấy một điểm O nằm trên một trong hai đường thẳng đó và vẽ đường thẳng song song với đường thẳng còn lại.
  • Góc giữa hai đường thẳng nhận giá trị từ 0^0 đến 180^0.

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi trung điểm của các cạnh AB và CD lần lượt là M và N. Biết rằng MN = a\sqrt {3a} ;AD = BC = 2a. Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng AD và BC?

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Hai đường thẳng vuông góc CTST

Gọi O là trung điểm AC.

Vì OM, ON lần lượt là đường trung bình của hai tam giác ABC và CAD nên \left\{ \begin{gathered} OM//BC,OM = \frac{1}{2}CB = a \hfill \\ ON//AD,ON = \frac{1}{2}AD = a \hfill \\ \end{gathered} \right.

Xét tam giác OMN có:

\cos \widehat {MON} = \frac{{O{M^2} + O{N^2} - M{N^2}}}{{2OM.ON}}

= \frac{{{a^2} + {a^2} - {{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2.a.a}} = \frac{1}{2}

\Rightarrow \widehat {MON} = {120^0}

\Rightarrow \left( {AD,BC} \right) = \left( {ON,OM} \right)= {180^0} - {120^0} = {60^0}

Câu trắc nghiệm mã số: 8848

2. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu là nếu góc giữa chúng bằng 90^0.

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD. Gọi trung điểm cạnh AC và BD lần lượt là M và N. Chứng minh đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD. Biết AB = 2\sqrt 2 a;CD = 2a;MN = a\sqrt 3.

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Hai đường thẳng vuông góc CTST

Gọi K là trung điểm cạnh BC

Ta có: NK,MK lần lượt là đường trung bình của tam giác BCD và tam giác ABC nên NK = a;MK = a\sqrt 2

Do đó M{N^2} = 3{a^2} - M{K^2} + N{K^2}

Suy ra tam giác MNK vuông tại K \Rightarrow MK \bot NK

Mà \left\{ \begin{gathered} MK//AB \hfill \\ NK//CD \hfill \\ \end{gathered} \right. nên \left( {AB,CD} \right) = \left( {MK,NK} \right) = {90^0}

\Rightarrow AB \bot CD

Câu trắc nghiệm mã số: 7655
  • 7 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CTST