Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Phép tính Lôgarit CTST

1. Khái niệm lôgarit

Định nghĩa: Cho hai số thực dương a, b với a ≠1. Số thực μ thỏa mãn đẳng thức {a^\mu } = b được gọi là lôgarit cơ số a của b. Kí hiệu {\log _a}b.

\mu = {\log _a}b \Leftrightarrow {a^\mu } = b

Điều kiện xác định

{\log _a}b xác định khi và chỉ khi \left\{ \begin{gathered} a > 0 \hfill \\ a \ne 1 \hfill \\ b > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..

Chú ý:

  • Một số công thức:
{\log _a}1 = 0 {\log _a}a = 1
{\log _a}{a^b} = b {a^{{{\log }_a}b}} = b
  • Lôgarit cơ số 10 của một số dương M được gọi là lôgarit thập phân của M, kí hiệu là \log M(đọc là lốc của M).
  • Lôgarit cơ số e của một số dương M được gọi là lôgarit tự nhiên của M, kí hiệu là \ln M (đọc là lôgarit Nêpe của M) với e = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} \approx 2,7183

Ví dụ: Tính

a) {\log _2}\frac{1}{{32}}

b) {4^{{{\log }_2}3}}

c) \log 1000

Hướng dẫn giải

a) {\log _2}\frac{1}{{32}} = {\log _2}\frac{1}{{{2^5}}} = {\log _2}{2^{ - 5}} = - 5

b) {4^{{{\log }_2}3}} = {\left( {{2^2}} \right)^{{{\log }_2}3}} = {\left( {{2^{{{\log }_2}3}}} \right)^2} = {3^2} = 9

c) \log 1000 = \log {10^3} = 3

Câu trắc nghiệm mã số: 44252,44251

2. Tính chất của phép tính lôgarit

Với a \in {\mathbb{R}^ + }\backslash \left\{ 1 \right\} và M,N \in {\mathbb{R}^ + };\alpha \in \mathbb{R} ta có:

{\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}\left( M \right) + {\log _a}\left( N \right)

{\log _a}\left( {\frac{M}{N}} \right) = {\log _a}\left( M \right) - {\log _a}\left( N \right)

{\log _a}\left( {{M^\alpha }} \right) = \alpha {\log _a}\left( M \right)

 {\log _a}\left( {\frac{1}{N}} \right) = - {\log _a}\left( N \right)
{\log _a}\sqrt[n]{M} = \frac{1}{n}{\log _a}\left( M \right),\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)

 

Ví dụ: Thực hiện các phép tính sau:

a) {\log _3}\frac{9}{{10}} + {\log _3}30

b) {\log _5}75 - {\log _5}3

c) 2{\log _5}2 - {\log _5}4\sqrt {10} + {\log _5}\sqrt 2

d) {\log _3}\sqrt 3 - {\log _3}\sqrt[3]{9} + 2{\log _3}\sqrt[4]{{27}}

Hướng dẫn giải

a) {\log _3}\frac{9}{{10}} + {\log _3}30 = {\log _3}\left( {\frac{9}{{10}}.30} \right) = {\log _3}\left( {{3^3}} \right) = 3

b) {\log _5}75 - {\log _5}3 = {\log _5}\frac{{75}}{3}= {\log _5}25 = {\log _5}{5^2} = 2

c) 2{\log _5}2 - {\log _5}4\sqrt {10} + {\log _5}\sqrt 2

= {\log _5}{2^2} - {\log _5}4\sqrt {10} + {\log _5}\sqrt 2

= {\log _5}\frac{{4\sqrt 2 }}{{4\sqrt {10} }} = {\log _5}\frac{1}{{\sqrt 5 }} = {\log _5}{5^{ - \frac{1}{2}}} = - \frac{1}{2}

d) {\log _3}\sqrt 3 - {\log _3}\sqrt[3]{9} + 2{\log _3}\sqrt[4]{{27}}

= {\log _3}{3^{\frac{1}{2}}} - {\log _3}{3^{\frac{2}{3}}} + 2{\log _3}{3^{\frac{3}{4}}}

= \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + 2.\frac{3}{4} = \frac{4}{3}

Câu trắc nghiệm mã số: 44289,44287

3. Công thức đổi cơ số

Cho các số dương a,b,N với a \ne 1;b \ne 1 ta có:

{\log _a}N = \frac{{{{\log }_b}N}}{{{{\log }_b}a}}

Ví dụ: Cho a là một số thực dương. Rút gọn biểu thức: M = {\log _{\frac{1}{3}}}a - {\log _{\sqrt 3 }}{a^2} + {\log _9}\frac{1}{a}

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đổi cơ số ta đưa các biểu thức lôgarit về lôgarit cơ số 3 như sau:

{\log _{\frac{1}{3}}}a = \frac{{{{\log }_3}a}}{{{{\log }_3}\frac{1}{3}}} = \frac{{{{\log }_3}a}}{{{{\log }_3}{3^{ - 1}}}}= \frac{{{{\log }_3}a}}{{ - 1}} = - {\log _3}a

{\log _{\sqrt 3 }}{a^2} = 2{\log _{\sqrt 3 }}a = 2.\frac{{{{\log }_3}a}}{{{{\log }_3}\sqrt 3 }}= 2.\frac{{{{\log }_3}a}}{{{{\log }_3}{3^{\frac{1}{2}}}}} = 2.\frac{{{{\log }_3}a}}{{\frac{1}{2}}} = 4{\log _3}a

{\log _9}\frac{1}{a} = \frac{{{{\log }_3}\frac{1}{a}}}{{{{\log }_3}9}} = \frac{{{{\log }_3}\frac{1}{a}}}{{{{\log }_3}{3^2}}}= \frac{{{{\log }_3}{a^{ - 1}}}}{2} = - \frac{{{{\log }_3}a}}{2}

Thay các kết quả trên vào biểu thức M ta được:

M = - {\log _3}a - 4{\log _3}a - \frac{{{{\log }_3}a}}{2} = - \frac{{11}}{2}{\log _3}a

Vậy M = - \frac{{11}}{2}{\log _3}a

Câu trắc nghiệm mã số: 44286,44276
  • 12 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CTST