Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Dãy số CTST

1. Dãy số là gì?

a) Định nghĩa dãy số vô hạn

Hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương {\mathbb{N}^*} được gọi là một dãy số vô hạn (dãy số), nghĩa là:

\begin{matrix} u:{\mathbb{N}^*} \to \mathbb{R} \hfill \\ {\text{ n}} \mapsto {u_n} = u\left( n \right) \hfill \\ \end{matrix}

  • Kí hiệu là u = u\left( n \right) (hoặc có thể viết là u = {u_n}).
  • Dãy số \left( {{u_n}} \right) được viết dưới dạng khai triển là {u_1};{u_2};{u_3};...;{u_n};....

Chú ý:

  • Gọi số hạng đầu là {u_1} = u\left( 1 \right) và {u_n} là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.
  • Nếu \forall n \in {\mathbb{N}^*};{u_n} = c thì \left( {{u_n}} \right) được gọi là dãy số không đổi.

b) Định nghĩa dãy số hữu hạn

  • Hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương M = \left\{ {1;2;3;...;m} \right\},\left( {m \in {\mathbb{N}^*}} \right) được gọi là một dãy số hữu hạn.
  • Dãy số \left( {{u_n}} \right) hữu hạn được viết dưới dạng khai triển là {u_1};{u_2};{u_3};...;{u_m}
  • Gọi số hạng đầu là {u_1} và {u_m} là số hạng thứ cuối của dãy số.

Ví dụ: Cho dãy số \left( {{u_n}} \right) được xác định như sau: \left\{ \begin{gathered} {u_1} = 1 \hfill \\ {u_2} = 2 \hfill \\ {u_{n + 2}} = 2{u_{n + 1}} + 3{u_n} + 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.. Tìm số hạng u_8?

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{matrix} {u_3} = 2{u_2} + 3{u_1} + 5 = 12 \hfill \\ {u_4} = 2{u_3} + 3{u_2} + 5 = 35 \hfill \\ \end{matrix}

\begin{matrix} {u_5} = 2{u_4} + 3{u_3} + 5 = 111 \hfill \\ {u_6} = 2{u_5} + 3{u_4} + 5 = 332 \hfill \\ \end{matrix}

\begin{matrix} {u_7} = 2{u_6} + 3{u_5} + 5 = 1002 \hfill \\ {u_8} = 2{u_7} + 3{u_6} + 5 = 3005 \hfill \\ \end{matrix}

Câu trắc nghiệm mã số: 33569,9564

2. Cách xác định dãy số

Có các cách xác định dãy số như sau:

Cách 1: Liệt kê các số hạng.

Cách 2: Công thức số hạng tổng quát {u_n} = f(n), tức là tính mỗi số hạng theo n.

Cách 3: Công thức truy hồi tức là \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = a} \\ {{u_{n + 1}} = g\left( {{u_n}} \right)} \end{array}} \right. tính mỗi số hạng đứng trước nó.

Cách 4: Dựa vào mô tả dãy số.

Ví dụ: Tìm 5 số hạng đầu và tìm công thức tổng quát của {u_n} theo n của dãy số \left\{ \begin{gathered} {u_1} = 3 \hfill \\ {u_{n + 1}} = {u_n} + 2 \hfill \\ \end{gathered} \right..

Hướng dẫn giải

Ta có:

{u_2} = {u_1} + 2 = 3 + 2 = 5

{u_3} = {u_2} + 2 = 5 + 2 = 7

{u_4} = {u_4} + 2 = 7 + 2 = 9

{u_5} = {u_4} + 2 = 9 + 2 = 11

Từ các số hạng đầu tiên ta dự đoán số hạng tổng quát {u_n} có dạng {u_n} = 2n + 1,\forall n \geqslant 1\left( * \right)

Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức (*) đúng.

Với n = 1,{u_1} = 2.1 + 2 = 3 đúng. Vậy (*) đúng với n = 1.

Giả sử (*) đúng với n=k có nghĩa ta có {u_k} = 2.k + 1\left( {**} \right)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1 có nghĩa ta phải chứng minh:

{u_{k + 1}} = 2\left( {k + 1} \right) + 1 = 2k + 3

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (**) ta có:

{u_{k + 1}} = {u_k} + 2 = 2.k + 1 + 2 = 2k + 3

Vậy (*) đúng khi . Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Câu trắc nghiệm mã số: 8053

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số \left\{ {{u_n}} \right\} được gọi là dãy tăng nếu như \forall n \in {\mathbb{N}^*} ta có:

{u_{n + 1}} > {u_n}

Dãy số \left\{ {{u_n}} \right\} được gọi là dãy giảm, nếu như \forall n \in {\mathbb{N}^*} ta có:

{u_{n + 1}} < {u_n}

Ví dụ: Xét tính tăng giảm của các dãy số được xác định bởi:

a) {u_n} = 2{n^3} - 5n + 1

b) {u_n} = \frac{n}{{{n^2} + 1}}

Hướng dẫn giải

a) {u_n} = 2{n^3} - 5n + 1

Với n \in {\mathbb{N}^*} mỗi ta có:

{u_{n + 1}} - {u_n} = \left[ {2{{\left( {n + 1} \right)}^3} - 5\left( {n + 1} \right) + 1} \right] - \left( {2{n^3} - 5n + 1} \right)

= 2{n^3} + 6{n^2} + 6n + 2 - 5n - 5 - 1 - 2{n^3} + 5n - 1

= 6{n^2} + 6n - 3 = 6{n^2} + 3n + \left( {3n - 3} \right) > 0 (đúng) do n \geqslant 1

Vì thế dãy số đã cho là dãy số tăng.

b) {u_n} = \frac{n}{{{n^2} + 1}}

Với n \in {\mathbb{N}^*} mỗi ta có:

{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} - \frac{n}{{{n^2} + 1}}

= \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right) - n\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} \right]}}{{\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} \right]\left( {{n^2} + 1} \right)}}

= \frac{{{n^3} + n + {n^2} + 1 - \left( {{n^3} + 2{n^2} + 2n} \right)}}{{\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} \right]\left( {{n^2} + 1} \right)}}

= \frac{{ - {n^2} - n - 1}}{{\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} \right]\left( {{n^2} + 1} \right)}} < 0

Vì \left\{ \begin{gathered} - {n^2} - n + 1 < 0 \hfill \\ \left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1} \right]\left( {{n^2} + 1} \right) > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.,\left( {\forall n \geqslant 1} \right)

Vậy dãy số đã cho là một dãy số giảm.

Câu trắc nghiệm mã số: 8058,8101

4. Dãy số bị chặn

Dãy số \left\{ {{u_n}} \right\} được gọi là bị chặn trên, nếu như tồn tại hằng số T sao cho:

{u_n} \leqslant T;\forall n \in {\mathbb{N}^*}

Dãy số \left\{ {{u_n}} \right\} được gọi là bị chặn dưới, nếu như tồn tại hằng số D sao cho:

{u_n} \geqslant D,\forall n \in {\mathbb{N}^*}

Dãy số \left\{ {{u_n}} \right\} vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại các số T,D sao cho:

D \leqslant {u_n} \leqslant T;\forall n \in {\mathbb{N}^*}

Ví dụ: Chứng minh rằng dãy số \left( {{u_n}} \right) với {u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2{n^2} - 3}} là một dãy số bị chặn.

Hướng dẫn giải

Ta có: {u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{2{n^2} - 3}} = \frac{1}{2} + \frac{5}{{2\left( {2{n^2} - 3} \right)}}\left( * \right)

Dễ thấy \forall n \geqslant 1 ta có:

- 1 \leqslant \frac{1}{{2{n^2} - 3}} \leqslant \frac{1}{5}

Do đó từ (*) suy ra: - 2 \leqslant {u_n} \leqslant 1;\left( {\forall n \geqslant 1} \right)

Từ đó suy ra là một dãy số \left( {{u_n}} \right) bị chặn.

Câu trắc nghiệm mã số: 8061,8097
  • 15 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CTST