Hàm số mũ. Hàm số lôgarit CTST

1. Hàm số mũ

Định nghĩa hàm số mũ

Cho số thực dương $a \ne 1$ . Hàm số $y=a^x$ được gọi là hàm số mũ cơ số $a$ .

Đặc điểm của hàm số mũ

	$y = {a^x},\left( {a > 1} \right)$	$y = {a^x},\left( {a < 1} \right)$
1. Tập xác định	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
2. Sự biến thiên	Đồng biến trên $\mathbb{R}$	Nghịch biến trên $\mathbb{R}$
3. Sự liên tục	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
4. Giới hạn đặc biệt	$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } a = + \infty \hfill \\ \end{matrix}$	$\begin{matrix} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {a^x} = + \infty \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {a^x} = 0 \hfill \\ \end{matrix}$
5. Đồ thị hàm số	Đồ thị luôn đi qua các điểm $(0;1)$ và $(1;a)$ nằm phía trên trục hoành.	Đồ thị luôn đi qua các điểm $(0;1)$ và $(1;a)$ nằm phía trên trục hoành.

Ví dụ: So sánh các cặp số sau:

a) $0,{75^{ - 0,1}}$ và $0,{75^{ - 0,2}}$

b) $\sqrt[4]{4}$ và $\sqrt[5]{8}$

Hướng dẫn giải

a) Do $0,75 < 1$ nên hàm số $y = 0,{75^x}$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ và $- 0,1 > - 0,2$ nên $0,{75^{ - 0,1}} < 0,{75^{ - 0,2}}$ .

b) Ta có: $\sqrt[4]{4} = {2^{\frac{2}{3}}};\sqrt[5]{8} = {2^{\frac{3}{5}}}$

Do $2 > 1$ nên hàm số $y = {2^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $\frac{2}{3} > \frac{3}{5}$ nên ${2^{\frac{2}{3}}} > {2^{\frac{3}{5}}}$ hay $\sqrt[4]{4} > \sqrt[5]{8}$

Ví dụ: Dựa vào đồ thị hàm số, cho biết với giá trị nào của x thì đồ thị hàm số $y = {3^x}$ :

a) Nằm ở phía trên đường thẳng $y=3$

b) Nằm ở phía dưới đường thẳng $y=1$

Hướng dẫn giải

Hàm số mũ. Hàm số lôgarit CTST

a) Đường thẳng $y=3$ cắt đồ thị hàm số $y = {3^x}$ tại điểm $C(1; 3)$

Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số $y = {3^x}$ nằm phía trên đường thẳng $y=3$ khi .

b) Đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị hàm số $y = {3^x}$ tại điểm

Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số $y = {3^x}$ nằm phía dưới đường thẳng $y=1$ khi x < 0.

Câu trắc nghiệm mã số: 44316,44297

2. Hàm số lôgarit

Định nghĩa hàm số lôgarit

Cho $a$ là số thực dương và $a \ne 1$ .

Hàm số $y = \log_{a}x$ được gọi là hàm số lôgarit cơ số $a$ .

Đặc điểm của hàm số lôgarit

	$y = {\log _a}x;\left( {a > 1} \right)$	$y = {\log _a}x;\left( {0 < a < 1} \right)$
1. Tập xác định	$(0; + \infty )$	$(0; + \infty )$
2. Sự biến thiên	Đồng biến trên $(0; + \infty )$	Nghịch biến trên $(0; + \infty )$
3. Sự liên tục	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
4. Giới hạn đặc biệt	$\lim_{x\rightarrow 0^+} \log_{a}(x)= - \infty$ $\lim_{x\rightarrow + \infty} \log_{a}(x)= + \infty$	$\lim_{x\rightarrow 0^+} \log_{a}(x)= + \infty$ $\lim_{x\rightarrow + \infty} \log_{a}(x)= - \infty$
5. Đồ thị hàm số	Đi qua các điểm $(1;0)$ và $(a;1)$ nằm phía bên phải trục tung.	Đi qua các điểm $(1;0)$ và $(a;1)$ nằm phía bên phải trục tung.