Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit CTST

1. Phương trình mũ

Phương trình mũ cơ bản có dạng

{a^x} = b{\text{ }}\left( {a > 0,{\text{ }}a \ne 1} \right)

Để giải phương trình mũ, ta xét hai trường hợp sau:

  • Khi b > 0 phương trình có một nghiệm duy nhất.
  • Khi b \leq 0 phương trình vô nghiệm. 

Minh họa bằng đồ thị

a>1

0 < a < 1
Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit CTST Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit CTST

Cách giải phương trình mũ

{a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow a = 1 hoặc \left\{ \begin{gathered} 0 < a \ne 1 \hfill \\ f\left( x \right) = g\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.

Ví dụ: Giả sử x_{1};x_{2} là hai nghiệm của phương trình 2^{x^{2} - x + 8} - 4^{1 - 3x} = 0 . Xác định giá trị biểu thức M = 4{x_{1}}^{2} - {x_{2}}^{2} biết x_{1} > x_{2} ?

Hướng dẫn giải

Ta có:

2^{x^{2} - x + 8} - 4^{1 - 3x} = 0 \Leftrightarrow 2^{x^{2} - x + 8} = \left( 2^{2} ight)^{1 - 3x}

\Leftrightarrow 2^{x^{2} - x + 8} = 2^{2.(1 - 3x)}

\Leftrightarrow x^{2} - x + 8 = 2.(1 - 3x)

\Leftrightarrow x^{2} + 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x_{1} = - 2 \\ x_{2} = - 3 \\ \end{matrix} ight.\ (tm)

\Rightarrow M = 4{x_{1}}^{2} - {x_{2}}^{2} = 7

Câu trắc nghiệm mã số: 44368

2. Phương trình lôgarit

Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

Phương trình lôgarit cơ bản có dạng:

{\log _a}f(x) = b (a > 0,\,\,a \ne 1 )

Để giải phương trình lôgarit cơ bản, ta có:

{\log _a}f(x) = b \Leftrightarrow x =a^b

Minh họa bằng đồ thị

a>1

a>1
Phương trình, bất phương trình mũ và Lôgarit Kết nối tri thức Phương trình, bất phương trình mũ và Lôgarit Kết nối tri thức

{\log _a}x > b khi và chỉ khi x > {a^b}

{\log _a}x > b khi và chỉ khi 0 < x < {a^b}.

Cách giải phương trình lôgarit

{\log _a}f(x) = {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} f(x) > 0 \hfill \\ f(x) = g(x) \hfill \\ \end{gathered} \right. , với mọi 0 < a \ne 1

Ví dụ: Giả sử S là tổng các nghiệm của phương trình:

\frac{1}{4}\log_{4}(a - 3)^{8} +\frac{1}{2}\log_{\sqrt{2}}(a + 1) = \log_{2}(4a)

Giá trị của S bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định \left\{ \begin{matrix} (a - 3)^{8} > 0 \\ a + 1 > 0 \\ 4a > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a eq 3 \\ a > - 1 \\ a > 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a eq 3 \\ a > 0 \\ \end{matrix} ight.

 

Phương trình đã cho tương đương:

\Leftrightarrow \dfrac{1}{4}\log_{2^{2}}(a- 3)^{8} + \frac{1}{2}\log_{2^{\frac{1}{2}}}(a + 1) =\log_{2}(4a)

\Leftrightarrow \log_{2}|a - 3| +\log_{2}(a + 1) = \log_{2}(4a)

\Leftrightarrow \log_{2}|a - 3| =\log_{2}(4a) - \log_{2}(a + 1)

\Leftrightarrow \log_{2}|a - 3| =\log_{2}\left( \frac{4a}{a + 1} ight)

\Leftrightarrow |a - 3| = \dfrac{4a}{a +1} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}a - 3 = \dfrac{4a}{a + 1} \\a - 3 = - \dfrac{4a}{a + 1} \\\end{matrix} ight.

\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a^{2} - 6a - 3 = 0 \\ a^{2} + 2a - 3 = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} a = 3 + 2\sqrt{3}(tm) \\ a = 3 - 2\sqrt{3}(ktm) \\ a = 1(tm) \\ a = - 3(ktm) \\ \end{matrix} ight.

\Rightarrow S = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}

Câu trắc nghiệm mã số: 44383

3. Bất phương trình mũ

a) Định nghĩa bất phương trình mũ

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng {a^x} > b (hoặc {a^x} \geqslant b,{a^x} < b,{a^x} \leqslant b) với a > 0,a \ne 1.

Để giải, ta xét bất phương trình có dạng {a^x} > b

  • Nếu b \leq 0, tập nghiệm của bất phương trình là \mathbb{R}, vì {a^x} > b,\forall x \in \mathbb{R}
  • Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với {a^x} > {a^{{{\log }_a}b}}, khi đó:
    • Với a>1, nghiệm của bất phương trình là x > {\log _a}b
    • Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < {\log _a}b

b) Cách giải bất phương trình mũ

  • Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

\boxed{{a^{f\left( x \right)}} > {a^{g\left( x \right)}} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} a > 1 \hfill \\ f\left( x \right) > g\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 0 < a < 1 \hfill \\ f\left( x \right) < g\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.}

  • Tương tự với bất phương trình dạng:

\left[ \begin{gathered} {a^{f\left( x \right)}} \geqslant {a^{g\left( x \right)}} \hfill \\ {a^{f\left( x \right)}} < {a^{g\left( x \right)}} \hfill \\ {a^{f\left( x \right)}} \leqslant {a^{g\left( x \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \right.

  • Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

\boxed{{a^M} > {a^N} \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {M - N} \right) > 0}.

  • Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ: đưa về cùng cơ số; đặt ẩn phụ.

Ví dụ: Cho bất phương trình \left( \frac{1}{3} ight)^{x} > 9 . Xác định nghiệm của bất phương trình đã cho?

Hướng dẫn giải

Ta có:

\left( \frac{1}{3} ight)^{x} > 9\Leftrightarrow \left( 3^{- 1} ight)^{x} > 3^{2}

\Leftrightarrow 3^{- x} > 3^{2}\Leftrightarrow x < - 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x\in ( - \infty; - 2)

Câu trắc nghiệm mã số: 44428

4. Bất phương trình lôgarit

a) Định nghĩa bất phương trình lôgarit

Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

Bất phương trình logarit cơ bản có dạng {\log _a}x > b (hoặc {\log _a}x \geqslant b,{\log _a}x < b,{\log _a}x \leqslant b) với a > 0,a \ne 1.

Để giải, ta xét bất phương trình {\log _a}x > b như sau:

  • Trường hợp a>1, ta có:
  • {\log _a}x > b \Leftrightarrow x > {a^b}
  • Trường hợp 0 < a < 1, ta có:

{\log _a}x > b \Leftrightarrow 0 < x < {a^b}

b) Cách giải bất phương trình lôgarit

Nếu a> 1 thì

{\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} g(x) > 0 \hfill \\ f(x) > g(x) \hfill \\ \end{gathered} \right.

Nếu 0 < a < 1 thì

{\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} f(x) > 0 \hfill \\ f(x) < g(x) \hfill \\ \end{gathered} \right.

Ví dụ: Tìm giá trị tham số m để bất phương trình 1 + \log_{5}\left( x^{2} + 1 ight) \geq \log_{5}\left( mx^{2} + 4x + m ight) có nghiệm đúng với mọi x.

Hướng dẫn giải

Ta có:

1 + \log_{5}\left( x^{2} + 1 ight) \geq \log_{5}\left( mx^{2} + 4x + m ight)

\Leftrightarrow \log_{5}\left\lbrack5\left( x^{2} + 1 ight) ightbrack \geq \log_{5}\left( mx^{2} + 4x +m ight)

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 5\left( x^{2} + 1 ight) \geq mx^{2} + 4x + m \\ mx^{2} + 4x + m > 0 \\ \end{matrix} ight.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} (5 - m)x^{2} - 4x + 5 - m \geq 0\ \ \ (1) \\ mx^{2} + 4x + m > 0\ \ \ \ (2) \\ \end{matrix} ight.

Bất phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x khi cả (1) và (2) đúng với mọi x.

Với m = 0 hoặc m = 5 không thỏa mãn đề bài.

Với m eq 0 hoặc m eq 5 để thỏa mãn đề bài thì:

\left\{ \begin{matrix} 5 - m > 0 \\ 4 - (5 - m)^{2} \leq 0 \\ m > 0 \\ 4 - m^{2} < 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m < 5 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m \leq 3 \\ m \geq 7 \\ \end{matrix} ight.\ \\ m > 0 \\ \left\lbrack \begin{matrix} m > 2 \\ m < - 2 \\ \end{matrix} ight.\ \\ \end{matrix} ight.

\Leftrightarrow 2 < m \leq 3

Câu trắc nghiệm mã số: 36729
  • 3 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CTST