Lớp 11 Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Cấp số nhân CTST

1. Cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số (vô hạn hoặc hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số q không đổi, nghĩa là:

{u_{n + 1}} = {u_n}.q;\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Ví dụ: Chứng minh \left( {{u_n}} \right):{u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}{.3^{2n}} dãy là một cấp số nhân.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}{{.3}^{2\left( {n + 1} \right)}}}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n}{{.3}^{2n}}}} = - 9;\left( {\forall n \in {\mathbb{N}^*}} \right)

Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với công bội q = - 9.

Câu trắc nghiệm mã số: 1285,1278

2. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Nếu một cấp số nhân \left( {{u_n}} \right) có số hạng đầu {u_1} và công bội q thì số hạng tổng quát {u_n} của nó được xác định bởi công thức:

{u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \geqslant 2

Ví dụ: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân biết \left\{ \begin{gathered} {u_1} + {u_5} = 51 \hfill \\ {u_2} + {u_6} = 102 \hfill \\ \end{gathered} \right..

Hướng dẫn giải

Ta có:

\left\{ \begin{gathered} {u_1} + {u_5} = 51 \hfill \\ {u_2} + {u_6} = 102 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {u_1} + {u_1}.{q^4} = 51 \hfill \\ {u_1}q + {u_1}.{q^5} = 102 \hfill \\ \end{gathered} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51 \hfill \\ {u_1}q.\left( {1 + {q^4}} \right) = 102 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} q = 2 \hfill \\ {u_1} = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.

Vậy cấp số nhân có số hạng đầu {u_1} = 3 và công bội q = 2.

Tính chất

Ba số hạng {u_{n - 1}},{u_n},{u_{n + 1}} là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân khi {u_n}^2 = {u_{n - 1}}.{u_{n + 1}} với n \geqslant 1.

Ví dụ: Tìm các số dương m và n sao cho các số m,m + 2n,2m + n theo thứ tự lập thành một cấp số cộng và các số {\left( {n + 1} \right)^2},mn + 5,{\left( {m + 1} \right)^2} theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.

Hướng dẫn giải

Theo tính chất cấp số cộng ta có:

m + \left( {2m + n} \right) = 2\left( {m + 2n} \right)\left( * \right)

Theo tính chất của cấp số nhân ta có:

{\left( {n + 1} \right)^2}{\left( {m + 1} \right)^2} = {\left( {mn + 5} \right)^2}\left( {**} \right)

Từ (*) khai triển rút gọn ta được m = 5n thay vào (**) ta được:

{\left( {n + 1} \right)^2}{\left( {3n + 1} \right)^2} = {\left( {3{n^2} + 5} \right)^2}

\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left( {n + 1} \right)\left( {3n + 1} \right) = 3{n^2} + 5 \hfill \\ \left( {n + 1} \right)\left( {3n + 1} \right) = - 3{n^2} - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.

\Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} n = 1 \Rightarrow m = 3 \hfill \\ 6{n^2} + 4n + 6 = 0\left( {VN} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.

Vậy m = 3,n = 1

Câu trắc nghiệm mã số: 33433,33427

3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Giả sử \left( {{u_n}} \right) là một cấp số nhân có công bội q \ne 1. Đặt {S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n}, khi đó:

{S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}

Ví dụ: Tìm công bội của một cấp số nhân có số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 448 và tổng các số hạng là 889.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài ta có:

\left\{ \begin{gathered} {S_n} = 889 \hfill \\ {u_n} = 448 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{{u_1}\left( {{q^n} - 1} \right)}}{{q - 1}} = 889 \hfill \\ {u_1}.{q^n} = 448 \hfill \\ \end{gathered} \right.

\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {u_1}.{q^n} = 889\left( {q - 1} \right)\left( * \right) \hfill \\ {u_1}.{q^n} = 448\left( {**} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.

Thay (**) vào (*) ta được:

448q - 7 = 889q - 889 \Leftrightarrow q = 2

Câu trắc nghiệm mã số: 1296,1323
  • 2 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CTST