Luyện tập Khoảng cách trong không gian CTST

Hình vẽ minh họa:

Theo giả thiết, suy ra AD là hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (ABCD) và CD ⊥ AD (do ABCD là hình chữ nhật), nên theo định lý ba đường vuông góc suy ra CD ⊥ SD. Vì CD cũng vuông góc với BC nên CD là đoạn vuông góc chung của SD và BC.

Mệnh đề sai: “Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc mặt phẳng (P) chứa a và song song với b đến một điểm N bất kì trên b.”

Hình ảnh minh họa

Gọi O là tâm ABCD =>

Ta có:

Gọi M là trung điểm của BC, kẻ OK vuông góc với SM (1)

Ta có:

Xét tam giác vuông SOM ta có:

Hình vẽ minh họa:

Gọi N là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC.

Dựng hình chữ nhật AND

Kẻ GI // BC (I ∈ BD), GH ⊥ A’I (H ∈ A’I)

Ta có: C’N // (A’MB) (do C’N // MB)

=> d(C’, (A’BM)) = d(N, (A’BM))

Mà GN // (A’BM) (do GN // A’M)

=> d(N, (A’BM)) = d(G, (A’BM))

=> d(C’, (A’BM)) = d(G,(A’BM))

Ta có: BD // AN, AN // A’M => BD // A’M => A’, M, B, D đồng phẳng.

BD ⊥ GI (do ANBD là hình chữ nhật)

BD ⊥ A’G (do A’G ⊥ (ABC))

=> BD ⊥ (A’GI) => BD ⊥ GH

Mà A’I ⊥ GH => GH ⊥ (A’MB) => d(G, (A’BM)) = GH

Tính GH: ∆ABC đều, cạnh a

=>

Xét tam giác AA’G vuông tại G

=>

Ta lại có: GNBI là hình chữ nhật =>

Xét tam giác A’GI vuông tại G có GH ⊥ A’I

=>

Suy ra

Hình vẽ minh họa:

Gọi P là trung điểm BC và E = NP ∩ AC

=> PN // BD => BD // (MNP)

=> d(BD, MN) = d(BD, (MNP)) = d(O, (MNP)) = d(A, (MNP))

Kẻ AK ⊥ ME

Khi đó d(A, (MNP)) = AK.

Ta tính được:

Xét tam giác vuông MAE ta có:

Ta có:

Gọi H là chân đường cao lên cạnh SB. Khi đó, ta có

d(A, (SBC)) = AH. sin 30◦ => AH = AB . sin 30◦ =

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm BC.

Ta có:

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O và A lên SM =>

Ta có:

Ta có:

Xét tam giác SOM có:

Vậy

Hình vẽ minh họa:

Do I là trung điểm của SC và O là trung điểm AC nên IO ∥ SA. Do SA ⊥ (ABCD) nên IO ⊥ (ABCD), hay khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABCD) bằng độ dài đoạn thẳng IO

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó AM ⊥ AA’ tại A, AM ⊥ BC tại M.

Do đó, AM là đoạn vuông góc chung của AA’ và BC.

=> d(AA’, BC) =

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

(SAB) ⊥ (ABCD)

BC ⊥ BA

=> BC ⊥ (SAB).

Từ B kẻ BK ⊥ SA => d(BC, SA) = BK.

Ta có:

Tam SAB cân tại S, do vậy d(BC, SA) = BK ≠ AB

Hình vẽ minh họa:

Ta có:

BC ⊥ AB

BC ⊥ SA

=> BC ⊥ (SAB).

Vì SB ⊂ (SAB) và CD // (SAB) => d(SB, CD) = d(CD, (SAB)) = d(C, (SAB)) = BC = a

Đáp án đúng: “Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau thì vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.”

Hình vẽ minh họa:

Gọi M là trung điểm CB, ta có: OM ⊥ BC.

Mặt khác vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên OA ⊥ (OBC)

=> OA ⊥ OM. Do đó khoảng cách giữa OA và BC là OM.

Ta có:

Gọi O là tâm hình bình hành ABCD.

Các mặt phẳng cách đều A, B, C, D và S là

1) Mặt phẳng qua trung điểm của SA, SB, SC, SD

2) Mặt phẳng qua O và song song (SAB)

3) Mặt phẳng qua O và song song (SAD)

4) Mặt phẳng qua O và song song (SCD)

5) Mặt phẳng qua O và song song (SBC)