Đề thi giữa kì 1 Toán 11 sách Chân trời sáng tạo

Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Vận dụng cao

Bài kiểm tra này bao gồm 50 câu
Điểm số bài kiểm tra: 50 điểm
Thời gian làm bài: 90 phút
Xem lại kỹ lý thuyết trước khi làm bài
Chuẩn bị giấy và bút để nháp trước khi bắt đầu

Bắt đầu làm bài

90:00

Câu 1: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \frac{\tan x - 1}{\sin x} + \cos\left( x + \frac{\pi}{3} ight)$ ?
- A.
  $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{\frac{k\pi}{2}|k\in\mathbb{ Z} ight\}$
- B.
  $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{k\pi|k\in \mathbb{Z} ight\}$
- C.
  $D= \mathbb{R}$
- D.
  $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{\frac{k\pi}{2} + k\pi|k\in\mathbb{ Z} ight\}$
Hướng dẫn:
Hàm số $y = \frac{\tan x - 1}{\sin x} + \cos\left( x + \frac{\pi}{3} ight)$ xác định khi:

$\left\{ \begin{matrix}\sin x eq 0 \\\cos x eq 0 \\\end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \sin2x eq 0$

$\Leftrightarrow 2x eq k\pi \Leftrightarrow x eq \frac{k\pi}{2}\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy $D=\mathbb{ R}\backslash\left\{\frac{k\pi}{2}|k\in\mathbb{ Z} ight\}$
Câu 2: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức
Biết rằng phương trình $\dfrac{1}{\sin x} + \dfrac{1}{\sin2x} + \dfrac{1}{\sin4x}+ \cdots + \dfrac{1}{\sin\left( 2^{2018}x ight)} = 0$ có nghiệm dạng $x = \frac{2k\pi}{2^{a} - b}$ với $k \in \mathbb{Z}$ và $a,b \in \mathbb{N}^{*}$ . Tính $S = a + b$
- A.
  $S = 2017$ .
- B.
  $S = 2018$ .
- C.
  $S = 2020$ .
- D.
  $S = 2019$ .
Hướng dẫn:
Điều kiện $\left\{ \begin{matrix}\sin x eq 0 \\\sin2x eq 0 \\\sin4x eq 0 \\\cdots \\\sin\left( 2^{2018}x ight) eq 0 \\\end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow sin\left( 2^{2018}x ight) eq 0$

$\Leftrightarrow 2^{2018}x eq k\pi \Leftrightarrow x eq \frac{k\pi}{2^{2018}},k \in \mathbb{Z}$

Ta có:

$\frac{1}{\sin x} = \frac{1 + \cos x -\cos x}{\sin x}$

$=\dfrac{2\cos^{2}\dfrac{x}{2}}{2\sin\dfrac{x}{2}cos\dfrac{x}{2}} -cotx$

$= cot\frac{x}{2} - cotx$

Thiết lập các đẳng thức tương tự như trên thì phương trình đã cho trở thành

$\cot\frac{x}{2} - \cot x + \cot x -\cot2x$

${+ \cdots \cot\left( 2^{2017}x ight) -\cot\left( 2^{2018}x ight) = 0}{\Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} - \cot\left( 2^{2018}x ight) =0}$

${\Leftrightarrow \cot\frac{x}{2} =\cot\left( 2^{2018}x ight)}{\Leftrightarrow \frac{x}{2} = 2^{2018}x + k\pi,k \in\mathbb{Z}}$

${\Leftrightarrow x = \frac{2k\pi}{1 - 2^{2019}},k \in \mathbb{Z} }{\Leftrightarrow x = \frac{2k\pi}{2^{2019} - 1},k \in \mathbb{Z}}$

Vậy $a = 2019,b = 1$ nên $a + b = 2020$ .
Câu 3: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ để ba số $a^{4};a^{2};3a^{2} - 9$ lập thành một cấp số cộng?
- A.
  $1$
- B.
  $0$
- C.
  $4$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Để ba số $a^{4};a^{2};3a^{2} - 9$ lập thành một cấp số cộng thì $a^{4} + 3a^{2} - 9 = 2a^{2}$

Đặt $t = a^{2};(t \geq 0)$ phương trình trở thành

$t^{2} + t - 9 = 0\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix}t = \dfrac{- 1 + \sqrt{37}}{2} \\t = \dfrac{- 1 - \sqrt{37}}{2}(l) \\\end{matrix} ight.$

Với $t = \frac{- 1 + \sqrt{37}}{2} \Rightarrow a = \pm \sqrt{\frac{- 1 + \sqrt{37}}{2}}$

Do $a\mathbb{\in Z}$ vậy không có giá trị nào của a thỏa mãn yêu cầu để bài.
Câu 4: Thông hiểu
Thực hiện phép tính
Rút gọn biểu thức $C = \cos(7\pi - x) + 3\sin\left( \frac{3\pi}{2} + xight) - \cos\left( \frac{\pi}{2} - x ight) + \sin x$ ta được:
- A.
  $C = - 5\sin x$
- B.
  $C = 2\cos x$
- C.
  $C = - 3\sin x$
- D.
  $C = - 4\cos x$
Hướng dẫn:
Ta có:

$C = \cos(7\pi - x) + 3\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x ight) - \cos\left( \frac{\pi}{2} - x ight) + \sin x$

$C = \cos(\pi - x) - 3\sin\left(\frac{\pi}{2} + x ight) - \sin x + \sin x$

$C = - \cos x - 3cosx = - 4cosx$
Câu 5: Thông hiểu
Tìm khẳng định sai
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi công thức $u_{n} = \frac{1}{n^{2} + n}$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $u_{n} \leq \frac{1}{2};\left( \forall n \in \mathbb{N}^{*} ight)$
- B.
  $\left( u_{n} ight)$ là dãy số tăng
- C.
  5 số hạng đầu của dãy là $\frac{1}{2};\frac{1}{6};\frac{1}{12};\frac{1}{20};\frac{1}{30}$
- D.
  $\left( u_{n} ight)$ là dãy số giảm và bị chặn
Hướng dẫn:
Ta có:

$\dfrac{u_{n}}{u_{n + 1}} =\dfrac{\dfrac{1}{n^{2} + n}}{\dfrac{1}{(n + 1)^{2} + (n + 1)}}$

$= \frac{n(n - 1)}{n(n + 1)} = \frac{n - 1}{n + 1}$

Với $\forall n \in \mathbb{N}^{*},n > 1$ ta thấy $\frac{n - 1}{n + 1} = 1 - \frac{2}{n + 1} < 1$

Suy ra dãy số đã cho là dãy số giảm.
Câu 6: Vận dụng
Tìm số hạng tổng quát của dãy số
Cho dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi công thức $\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2020 \\ u_{n + 1} = u_{n} + n \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( \forall n \in \mathbb{N}^{*} ight)$ . Tìm số hạng tổng quát của dãy số?
- A.
  $u_{n} = 2020 + \frac{n(n + 1)}{2}$
- B.
  $u_{n} = 2020 + \frac{(n + 1)(n + 2)}{2}$
- C.
  $u_{n} = 2020 + \frac{n(n - 1)}{2}$
- D.
  $u_{n} = \frac{n(n - 1)}{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$u_{n + 1} - u_{n} = n,\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ suy ra

$u_{2} - u_{1} = 1$

$u_{3} - u_{2} = 2$

$u_{4} - u_{3} = 3$

…

$u_{n + 1} - u_{n} = n$

Cộng các vễ theo đẳng thức trên ta được

$u_{n + 1} - u_{n} = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n + 1)}{2}$

$\Leftrightarrow u_{n + 1} = 2020 + \frac{n(n + 1)}{2};\left( \forall n \in \mathbb{N}^{*} ight)$
Câu 7: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Chọn công thức đúng trong các công thức cho sau đây?
- A.
  $\sin2\alpha =\sin\alpha.\cos\alpha$
- B.
  $\sin2\alpha = \cos^{2}\alpha -\sin^{2}\alpha$
- C.
  $\sin2\alpha = \sin\alpha +\cos\alpha$
- D.
  $\sin2\alpha =2\sin\alpha$
Hướng dẫn:
Công thức đúng là: $\sin2\alpha =\sin\alpha.\cos\alpha$
Câu 8: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức
Biết $\sin\alpha + \cos\alpha = \frac{5}{4}$ . Khi đó $\sin\alpha.\cos\alpha$ có giá trị bằng:
- A.
  $\frac{5}{4}$
- B.
  $1$
- C.
  $\frac{9}{32}$
- D.
  $\frac{3}{16}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sin\alpha.cos\alpha$

$= \frac{1}{2}\left\lbrack \left(\sin\alpha + \cos\alpha ight)^{2} - \left( \sin^{2}\alpha +\cos^{2}\alpha ight) ightbrack$

$= \frac{1}{2}\left\lbrack \left( \frac{5}{4} ight)^{2} - 1 ightbrack = \frac{9}{32}$
Câu 9: Thông hiểu
Tìm kết luận sai
Cho tứ diện $ABCD$ có $E,F$ lần lượt là trọng tâm hai tam giác $BCD$ và $ACD$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  $BE,AF,CD$ đồng quy
- B.
  $EF//(ABC)$
- C.
  $EF = \frac{2}{3}AB$
- D.
  $EF//(ABD)$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $E,F$ lần lượt là trọng tâm hai tam giác $BCD$ và $ACD$

Suy ra BE, AF cắt nhau tại điểm Q.

Vậy $BE,AF,CD$ đồng quy.

Lại có: $\frac{QF}{QA} = \frac{1}{3} =\dfrac{QE}{QB} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}EF//AB \\\dfrac{EF}{AB} = \dfrac{1}{3} \\\end{matrix} ight.$

Từ đó suy ra $EF//(ABD)$ và $EF//(ABC)$ .
Câu 10: Thông hiểu
Chọn khẳng định đúng
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Giả sử $(SAB) \cap (SCD) = d$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $d//BC$
- B.
  $d//SA$
- C.
  $d//AB$
- D.
  $d//AC$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: $(SAB) \cap (SCD) = d$

Ta lại có: $\left\{ \begin{matrix} S \in (SAB);S \in (SCD) \\ AB \subset (SAB);CD \subset (SCD) \\ AB//CD \\ \end{matrix} ight.$ suy ra đường thẳng d đi qua S và song song với AB.
Câu 11: Nhận biết
Chọn kết luận đúng
Cho mặt phẳng $(\alpha)$ có các điểm $A \in (\alpha);B otin (\alpha)$ . Đường thẳng $t$ đi qua hai điểm $A;B$ . Khi đó giữa mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $t$ có:
- A.
  Vô số điểm chung
- B.
  Đúng một điểm chung
- C.
  Ít nhất hai điểm chung
- D.
  Nhiều hơn một điểm chung
Hướng dẫn:
Giữa mặt phẳng $(\alpha)$ và đường thẳng $t$ có đúng một điểm chung.
Câu 12: Vận dụng
Tìm tất cả giá trị tham số m
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $2m\sin^{2}x + 4\sin x\cos x - 4\cos^{2}x = 0$ vô nghiệm?
- A.
  $m \in \lbrack -2;5brack$ .
- B.
  $m > \frac{1}{2}$ .
- C.
  $m < 3$ .
- D.
  $m < -\frac{1}{2}$ .
Hướng dẫn:
Ta có:
$2m\sin^{2}x + 4\sin x\cos x -4\cos^{2}x = 0$
$\Leftrightarrow m(1 - \cos2x) + 2\sin2x -2(1 + \cos2x) = 0$
$\Leftrightarrow 2\sin2x - (m + 2)\cos2x = 2- m$
Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow 4 +(m + 2)^{2} < (2 - m)^{2}$
$\Leftrightarrow 4 + m^{2} + 4m + 4 <4 - 4m + m^{2}$
$\Leftrightarrow 8m + 4 < 0\Leftrightarrow m < - \frac{1}{2}$
Câu 13: Thông hiểu
Biểu diễn nghiệm của phương trình
Cho vòng tròn lượng giác được kí hiệu như sau:

Điểm nào biểu diễn nghiệm của phương trình $2sinx - 1 = 0$ ?
- A.
  Điểm C và điểm F
- B.
  Điểm E và điểm F
- C.
  Điểm D và điểm C
- D.
  Điểm E và điểm D
Hướng dẫn:
Ta có:

$2sinx - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy chỉ có hai điểm C và điểm D thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 14: Nhận biết
Chọn khẳng định sai
Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  Nếu ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.
- B.
  Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
- C.
  Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
- D.
  Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
Hướng dẫn:
Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.” đúng vì:

TH1: Hai mặt phẳng phân biệt nếu có một điểm chung thì hai mặt phẳng đó có một đường thẳng chung (giao tuyến của hai mặt phẳng) do đó có hai mặt phẳng có vô số điểm chung.

TH2: Hai mặt phẳng không phân biệt thì chúng có vô số điểm chung (vì hai mặt phẳng trùng nhau)”

Đáp án: “Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất” đúng vì tập hợp các điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt là một đường thẳng.

Đáp án: “Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.” sai vì chưa xét đến trường hợp hai mặt phẳng không phân biệt.

Đáp án: “Nếu ba điểm A, B, C phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.” đúng vì khi đó ba điểm A, B, C cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Câu 15: Thông hiểu
Giải phương trình lượng giác
Phương trình $2\sin x - 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $( - \pi;\pi)$ ?
- A.
  $4$
- B.
  $1$
- C.
  $3$
- D.
  $2$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \\x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Mà $x \in ( - \pi;\pi) \Rightarrow x = \frac{\pi}{6};x = \frac{5\pi}{6}$

Vậy phương trình có hai nghiệm thuộc khoảng $( - \pi;\pi)$ .
Câu 16: Thông hiểu
Xác định giao tuyến hai mặt phẳng
Cho tứ diện $ABCD$ . Lấy $I;J$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $AC$ và $G$ là trọng tâm của tam giác $BCD$ . Khi đó giao tuyến của mặt phẳng $(IJG)$ và mặt phẳng $(BCD)$ là đường thẳng đi qua điểm
- A.
  G và song song với CD
- B.
  J và song song với BD
- C.
  G và song song với BC
- D.
  I và song song với AB
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Nhận lấy IJ là đường trung bình tam giác ACD suy ra IJ//CD.

Gọi $d = (GIJ) \cap (BCD)$

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} G \in (GIJ);G \in (BCD) \\ IJ \subset (GIJ);CD \subset (BCD) \\ IJ//CD \\ \end{matrix} ight.$

Suy ra d đi qua G và song song với CD,.
Câu 17: Thông hiểu
Chọn kết quả chính xác
Tìm tập giá trị của hàm số $y = 5\sin x - 12\cos x$ ?
- A.
  $\lbrack - 13;13brack$
- B.
  $( - 13;13)$
- C.
  $\lbrack - 17;17brack$
- D.
  $\lbrack - 12;5brack$
Hướng dẫn:
Ta có:

$y = 5\sin x - 12\cos x$

$=>y = 13\left( \frac{5\sin x - 12\cos x}{13}ight)$

$=> y = 13\left( \sin\alpha.\sin x -\cos\alpha.\cos x ight)$

$y = 13cos(x + \alpha)$ (với $\sin\alpha = \frac{5}{13};\cos\alpha =\frac{12}{13}$ )

Lại có:

$- 1 \leq \cos(x + \alpha) \leq 1$

$\Leftrightarrow - 13 \leq 13cos(x + \alpha) \leq 13$

$\Leftrightarrow - 13 \leq y \leq 13$

Vậy tập giá trị của hàm số là $\lbrack - 13;13brack$
Câu 18: Thông hiểu
Tìm các nghiệm của phương trình
Giải phương trình $\tan x - \sqrt{3} = 0$ ta được nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất lần lượt là:
- A.
  $x = - \frac{5\pi}{6};x = \frac{\pi}{6}$
- B.
  $x = - \frac{2\pi}{3};x = \frac{\pi}{3}$
- C.
  $x = - \frac{2\pi}{3};x = \frac{4\pi}{3}$
- D.
  $x = - \frac{5\pi}{3};x = \frac{\pi}{3}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\tan x - \sqrt{3} = 0$

$\Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3} + k\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Suy ra:

Nghiệm âm lớn nhất của phương trình là: $x = \frac{- 2\pi}{3}$ ứng với $k = - 1$

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là: $x = \frac{\pi}{3}$ ứng với $k = 0$
Câu 19: Thông hiểu
Tìm m để phương trình có nghiệm
Cho phương trình $\cos^{2}2x = m + 1$ với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm?
- A.
  $m \in \lbrack - 1;0brack$
- B.
  $m \in ( - 1;1)$
- C.
  $m \in ( - \infty;1brack$
- D.
  $m \in \lbrack 0; + \infty)$
Hướng dẫn:
Ta có:

$0 \leq \cos^{2}2x \leq 1 \Leftrightarrow0 \leq m + 1 \leq 1$

$\Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 0$ thì phương trình có nghiệm.
Câu 20: Thông hiểu
Xác định thiết diện
Cho tứ diện $ABCD$ . Lấy $I;J$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $BD$ , lấy điểm $E \in AD;E eq A;E eq D$ . Thiết diện cắt bởi mặt phẳng $(IJE)$ với tứ diện $ABCD$ là:
- A.
  Hình thang cân
- B.
  Hình thang
- C.
  Hình bình hành
- D.
  Hình chữ nhật
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vì I và J là trung điểm của BC và BD nên IJ//CD (1)

$\left\{ \begin{matrix} IJ \subset (IJE) \\ CD \subset (ACD) \\ E \in (IJE) \cap (ACD) \\ \end{matrix} ight.$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(IJE)$ là đường thẳng d qua E và song song với CD.

Gọi $F = d \cap AC$ ta có tứ giác IJEF là thiết diện của tứ diện với mặt phẳng $(IJE)$ .

Vì EF//IJ nên IJEF là hình thang.
Câu 21: Thông hiểu
Tìm họ nghiệm phương trình
Phương trình $2\cos^{2}x - 3\sqrt{3}\sin2x - 4\sin^{2}x = -4$ có họ nghiệm là
- A.
  $x = \frac{\pi}{6} + k\pi,k \in \mathbb{Z}$ .
- B.
  $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi,k \in \mathbb{Z}$ .
- C.
  $\left\lbrack \begin{matrix}x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi \\\end{matrix},k \in \mathbb{Z} ight.$ .
- D.
  $x = \frac{\pi}{2} + k\pi,k \in \mathbb{Z}$ .
Hướng dẫn:
Ta có:

$\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$

$\Rightarrow \sin^{2}x = 1$ là nghiệm của phương trình.

$\cos x eq 0$ : Chia 2 vế phương trình cho $\cos^{2}x$ ta được:

$2 - 6\sqrt{3}\tan x - 4\tan^{2}x = -4\left( 1 + \tan^{2}x ight)$

$\Leftrightarrow tanx = \frac{1}{\sqrt{3}} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + k\pi$ .
Câu 22: Vận dụng
Tìm khẳng định đúng
Cho tam giác $ABC$ có các góc $\widehat{A};\widehat{B};\widehat{C}$ thỏa mãn biểu thức $\sin\frac{\widehat{A}}{2}.cos^{3}\frac{\widehat{B}}{2} - \sin\frac{\widehat{B}}{2}.cos^{3}\frac{\widehat{A}}{2} = 0$ . Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  Tam giác $ABC$ cân
- B.
  Tam giác $ABC$ vuông
- C.
  Tam giác $ABC$ đều
- D.
  Tam giác $ABC$ vuông cân
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sin\frac{\widehat{A}}{2}.\cos^{3}\frac{\widehat{B}}{2}- \sin\frac{\widehat{B}}{2}.\cos^{3}\frac{\widehat{A}}{2} =0$

$\Leftrightarrow\dfrac{\sin\dfrac{\widehat{A}}{2}}{\cos^{3}\dfrac{\widehat{A}}{2}} =\dfrac{\sin\dfrac{\widehat{B}}{2}}{\cos^{3}\dfrac{\widehat{B}}{2}}$

$\Leftrightarrow\tan\frac{\widehat{A}}{2}\left( 1 + \tan^{2}\frac{\widehat{A}}{2} ight)= \tan\frac{\widehat{B}}{2}.\left( 1 + \tan^{2}\frac{\widehat{B}}{2}ight)$

$\Leftrightarrow \tan\frac{\widehat{A}}{2} = \tan\frac{\widehat{B}}{2} \Leftrightarrow \frac{\widehat{A}}{2} = \frac{\widehat{B}}{2} \Leftrightarrow \widehat{A} = \widehat{B}$

Vậy tam giác $ABC$ cân.
Câu 23: Thông hiểu
Xác định số kết luận đúng
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Giả sử $G,G'$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB;SCD$ . Cho các khẳng định sau:

i) $GG'//(SBC)$

ii) $GG'//(SAD)$

iii) $GG'//(SAC)$

iv) $GG'//(ABD)$

Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng?
- A.
  $4$
- B.
  $1$
- C.
  $2$
- D.
  $3$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của AB và CD

Do $G,G'$ lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và tam giác SCD nên $\frac{SG}{SM} = \frac{SG'}{SN} = \frac{2}{3} \Rightarrow GG'//MN$

Mà $MN \subset (ABCD) \Rightarrow GG'//(ABCD)$

Ta có: $MN//AD//BC \Rightarrow GG'//AD//BC$

Mà $\left\{ \begin{matrix} BC \subset (SBC) \\ AD \subset (SAD) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} GG'//(SBC) \\ GG'//(SAD) \\ \end{matrix} ight.$

Vậy có 3 khẳng định đúng.
Câu 24: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức T
Ta có: $\sin\frac{90^{0}}{4}.\cos\frac{270^{0}}{4} =\frac{1}{2}\left( c - \frac{\sqrt{a}}{b} ight)$ với $a,b,c\in \mathbb{N},a \leq 5$ . Xác định giá trị của biểu thức $T = a - b + c$ ?
- A.
  $T = 2$
- B.
  $T = 4$
- C.
  $T = 5$
- D.
  $T = 1$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sin\frac{90^{0}}{4}.\cos\frac{270^{0}}{4}$

$= \frac{1}{2}.\left( \sin\frac{90^{0} - 270^{0}}{4} + \sin\frac{90^{0} + 270^{0}}{4} ight)$

$= \frac{1}{2}.\left\lbrack \sin\left( - 45^{0} ight) + \sin\left( 90^{0} ight) ightbrack$

$= \frac{1}{2}.\left( - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 ight) = \frac{1}{2}\left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} ight)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a = 2 \\ b = 1 \\ c = 1 \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow T = 1$
Câu 25: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Khẳng định nào dưới đây đúng?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} d//(\alpha) \\ a \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d//a$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} d//(\alpha) \\ d \subset (\beta) \\ (\alpha) \cap (\beta) = a \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d//a$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} d//(\alpha) \\ a//(\alpha) \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d//a$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} d//(\alpha) \\ (\alpha) \cap (\beta) = a \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d//a$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Vậy $\left\{ \begin{matrix} d//(\alpha) \\ d \subset (\beta) \\ (\alpha) \cap (\beta) = a \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow d//a$
Câu 26: Nhận biết
Tính giá trị biểu thức
Giá trị của $\sin\left( - \frac{25\pi}{4} ight)$ là:
- A.
  $\frac{\sqrt{3}}{2}$
- B.
  $- \frac{\sqrt{2}}{2}$
- C.
  $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- D.
  $- \frac{1}{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\sin\left( - \frac{25\pi}{4} ight) = \sin\left( - \frac{\pi}{4} - 6\pi ight) = \sin\left( - \frac{\pi}{4} ight) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$
Câu 27: Nhận biết
Xác định giả thiết đúng
Để xác định một mặt phẳng duy nhất cần các yếu tố nào dưới đây?
- A.
  Hai đường thẳng cắt nhau
- B.
  Bốn điểm phân biệt
- C.
  Một điểm và một đường thẳng
- D.
  Ba điểm phân biệt
Hướng dẫn:
Đáp án: “ba điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp ba điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa ba điểm thẳng hàng đã cho.

Đáp án: “một điểm và một đường thẳng: sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.

Đáp án: “bốn điểm phân biệt” sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong bốn tường hợp
Câu 28: Thông hiểu
Giải phương trình lượng giác
Tìm tập nghiệm của phương trình $\left( \sin x + 1 ight).\left( \sin x - \sqrt{2} ight) = 0$ ?
- A.
  $S = \left\{ - \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
- B.
  $S = \left\{ - \frac{\pi}{2} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
- C.
  $S = \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
- D.
  $S = \left\{ \frac{\pi}{2} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\left( \sin x + 1 ight).\left( \sin x - \sqrt{2} ight) = 0$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sin x + 1 = 0 \\ \sin x - \sqrt{2} = 0 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} \sin x = - 1 \\ \sin x = \sqrt{2}(L) \\ \end{matrix} ight.$

$\Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi}{2} + k2\pi;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vậy phương trình có tập nghiệm là: $S = \left\{ - \frac{\pi}{2} + k2\pi|k\mathbb{\in Z} ight\}$
Câu 29: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Cho tứ diện $ABCD$ như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây đúng?
- A.
  $(MND) \cap (ABC) = DN$
- B.
  $(MND) \cap (ABC) = MN$
- C.
  $(MND) \cap (ABC) = \varnothing$
- D.
  $(MND) \cap (ABC) = DM$
Hướng dẫn:
Khẳng định đúng là $(MND) \cap (ABC) = MN$
Câu 30: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác
Từ thời điểm đồng hồ chỉ đúng 12 giờ đến khi kim giờ chỉ 1 giờ đúng thì kim phút quay được góc bao nhiêu độ?
- A.
  $360^{0}$
- B.
  $180^{0}$
- C.
  $- 180^{0}$
- D.
  $- 360^{0}$
Hướng dẫn:
Khi kim giờ chỉ đúng 1 giờ thì kim phút đã quay được 1 vòng ứng với góc lượng giác là: $- 360^{0}$
Câu 31: Nhận biết
Tính tổng các giá trị của m
Biết ba số $m;2;m + 3$ lập thành một cấp số nhân. Tính tổng các giá trị của m thỏa mãn?
- A.
  $S = 3$
- B.
  $S = 4$
- C.
  $S = - 3$
- D.
  $S = - 4$
Hướng dẫn:
Để ba số $m;2;m + 3$ lập thành một cấp số nhân thì $m.(m + 3) = 2^{2} \Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} m = 1 \\ m = - 4 \\ \end{matrix} ight.$

Vậy tổng các giá trị của m là $S = - 3$
Câu 32: Nhận biết
Chọn khẳng định đúng
Để kết luận đường thẳng $a$ song song với đường thẳng $b$ ta cần giả thiết nào dưới đây?
- A.
  $\left\{ \begin{matrix} a//(\alpha) \\ b \subset (\alpha) \\ \end{matrix} ight.$
- B.
  $\left\{ \begin{matrix} a//(\alpha) \\ (\alpha) \cap (\beta) = b \\ \end{matrix} ight.$
- C.
  $\left\{ \begin{matrix} a//(\alpha) \\ b//(\alpha) \\ \end{matrix} ight.$
- D.
  $\left\{ \begin{matrix} a//(\alpha);a//(\beta) \\ (\alpha) \cap (\beta) = b \\ \end{matrix} ight.$
Hướng dẫn:
Ta có tính chất:

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Vậy $\left\{ \begin{matrix} a//(\alpha);a//(\beta) \\ (\alpha) \cap (\beta) = b \\ \end{matrix} ight.\ \Rightarrow a//b$
Câu 33: Vận dụng
Chọn kết quả đúng
Tính tổng $S = 1 + 11 + 111 + ... + \underbrace {1111...11}_n$ ?
- A.
  $S = \frac{1}{9}\left( \frac{10^{n + 1} - 10}{9} - n ight)$
- B.
  $S = \frac{1}{9}\left( \frac{10^{n + 1} - 10}{9} + n ight)$
- C.
  $S = n + \frac{10}{9}\left( 10^{n} - 1 ight)$
- D.
  $S = \frac{10}{9}\left( \frac{10^{n + 1} - 10}{9} + n ight)$
Hướng dẫn:
Xét dãy số $\left( U_{n} ight)$ là cấp số nhân với $u_{1} = 1;q = 10$

$\Rightarrow S_{n} = \frac{1}{9}.\left( 10^{n} - 1 ight)$

$\Rightarrow S = S_{1} + S_{2} + ... + S_{n}$

$= \sum_{k = 1}^{n}{\frac{1}{9}\left( 10^{n} - 1 ight)} = \frac{1}{9}\left( \sum_{k = 1}^{n}{10^{n} - n} ight)$

$= \frac{1}{9}\left( 10.\frac{10^{n} - 1}{9} - n ight) = \frac{1}{9}\left( \frac{10^{n + 1} - 1}{9} - n ight)$
Câu 34: Vận dụng cao
Tính giá trị biểu thức
Cho cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có các số hạng đều dương và $\left\{ \begin{matrix}u_{1} + u_{2} + u_{3} + \ldots + u_{n} = 2020 \\\dfrac{1}{u_{1}} + \dfrac{1}{u_{2}} + \dfrac{1}{u_{3}} + \ldots +\dfrac{1}{u_{n}} = 2021 \\\end{matrix} ight.$ Giá trị của $P = u_{1} \cdot u_{2} \cdot u_{3}\ldots\ldots u_{n}$ là:
- A.
  $P = \left( \frac{2021}{2020} ight)^{n}$ .
- B.
  $P = \left( \frac{2020}{2021} ight)^{n}$
- C.
  $P = \sqrt{\left( \frac{2021}{2020} ight)^{n}}$
- D.
  $P = \sqrt{\left( \frac{2020}{2021} ight)^{n}}$
Hướng dẫn:
Ta có $P = u_{1} \cdot \left( u_{1} \cdot q ight)\ldots..\left( u_{1} \cdot q^{n - 1} ight)$

$= u_{1}^{n} \cdot q^{1 + 2 + 3 + \ldots + (n - 1)}$

$= u_{1}^{n} \cdot q^{\frac{n(n -1)}{2}} = \left( u_{1} \cdot q^{\frac{n - 1}{2}}ight)^{n}$

Theo giả thiết, ta có:

$A = u_{1} + u_{2} + u_{3} + \ldots + u_{n} = u_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$
Và $B = \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{u_{2}} + \frac{1}{u_{3}} + \ldots + \frac{1}{u_{n}}$

$= \frac{1}{u_{1}} \cdot \left( 1 + \frac{1}{q} + \frac{1}{q^{2}} + \ldots + \frac{1}{q^{n - 1}} ight)$

$= \dfrac{1}{u_{1}} \cdot \dfrac{1 -\dfrac{1}{q^{n}}}{1 - \dfrac{1}{q}} = \dfrac{1}{u_{1}} \cdot \dfrac{q^{n} -1}{q - 1} \cdot \dfrac{1}{q^{n - 1}}$ .
Suy ra $\frac{A}{B} = u_{1}^{2} \cdot q^{n - 1} = \left( u_{1} \cdot q^{\frac{n - 1}{2}} ight)^{2}$ . Vậy $P = \sqrt{\left( \frac{A}{B} ight)^{n}} = \sqrt{\left( \frac{2020}{2021} ight)^{n}}$ .
Câu 35: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Xác định bốn số hạng đầu của một dãy số $\left( u_{n} ight)$ xác định bởi công thức $u_{n} = sin^{2}\left( \frac{\pi n}{4} ight) + \cos\left( \frac{2\pi n}{3} ight)$ với $\forall n \in \mathbb{N}^{*}$ ?
- A.
  $0;\frac{1}{2};\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}$
- B.
  $1;\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2}$
- C.
  $0;\frac{1}{2}; - \frac{1}{2};\frac{1}{2}$
- D.
  $1;\frac{1}{2};\frac{3}{2};\frac{1}{2}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$u_{1} = \sin^{2}\left( \frac{\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{2\pi}{3} ight) = 0$

$u_{2} = \sin^{2}\left( \frac{2\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{4\pi}{3} ight) = \frac{1}{2}$

$u_{3} = \sin^{2}\left( \frac{3\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{6\pi}{3} ight) = \frac{3}{2}$

$u_{4} = \sin^{2}\left( \frac{4\pi}{4}ight) + \cos\left( \frac{8\pi}{3} ight) = \frac{- 1}{2}$
Câu 36: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$ , điểm $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Khi đó giao điểm của $MG$ và mặt phẳng $(ACD)$ là:
- A.
  Giao điểm của $MG$ và $CD$
- B.
  Giao điểm của $MG$ và $AN$
- C.
  Điểm $N$
- D.
  Giao điểm của $MG$ và $AC$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Trong tam giác $ABN$ ta có: $\frac{BM}{AB} < \frac{BG}{BN} \Rightarrow P = MG \cap AN$

Vậy $P = MG \cap (ACD)$
Câu 37: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{5\pi}{6} ight)$ ?
- A.
  $y = \sin x$
- B.
  $y = \sin\left( x + \frac{\pi}{3} ight)$
- C.
  $y = \cos x$
- D.
  $y = \sin\left( x - \frac{\pi}{3} ight)$
Hướng dẫn:
Ta có:

$x \in \left( 0;\frac{5\pi}{6} ight) \Rightarrow x - \frac{\pi}{3} \in \left( \frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2} ight) \subset \left( - \frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} ight)$

Nên hàm số $y = \sin\left( x - \frac{\pi}{3} ight)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;\frac{5\pi}{6} ight)$ .
Câu 38: Thông hiểu
Tìm khẳng định sai
Cho tứ diện $ABCD$ có $G;G'$ lần lượt là trọng tâm hai tam giác $BCD$ và $ACD$ . Khẳng định nào sau đây sai?
- A.
  Thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(ABG)$ và tứ diện là một tam giác.
- B.
  $BG;AG';CD$ đồng quy
- C.
  $GG'//AB$
- D.
  $GG' = \frac{2}{3}AB$
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Gọi $M$ là trung điểm của $CD$

Khi đó $\frac{MG}{MB} = \frac{1}{3} = \frac{MG'}{MA}$ (vì $G;G'$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $BCD$ và $ACD$ )

Suy ra $\left\{ \begin{matrix}\dfrac{GG'}{AB} = \dfrac{1}{3} \\GG'//AB \\\end{matrix} ight.\ \Rightarrow GG' = \frac{1}{3}AB$

Vậy khẳng định sai là $GG' = \frac{2}{3}AB$ .

Mặt phẳng $(ABG)$ và tứ diện theo một diện diện là tam giác

Dễ thấy $BG;AG';CD$ đồng quy tại điểm M.
Câu 39: Nhận biết
Chọn đáp án chính xác
Cho một cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = 1;q = 2019$ . Tính $u_{2019}$ ?
- A.
  $u_{2019} = 2018^{2019}$
- B.
  $u_{2019} = 2019^{2018}$
- C.
  $u_{2019} = 2019^{2019}$
- D.
  $u_{2019} = \frac{1}{2019^{2018}}$
Hướng dẫn:
Ta có:

$u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} \Leftrightarrow u_{2019} = 1.2019^{2018} = 2019^{2018}$
Câu 40: Thông hiểu
Tính công sai và tổng 10 số hạng đầu
Cho một cấp số cộng $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = 2;u_{8} = 16$ . Tìm $d;S_{10}$ ?
- A.
  $d = 2;S_{10} = 80$
- B.
  $d = 2;S_{10} = 100$
- C.
  $d = 2;S_{10} = 110$
- D.
  $d = 2;S_{10} = 120$
Hướng dẫn:
Theo bài ra ta có:

$\left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{8} = 16 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{1} + 7d = 16 \\ \end{matrix} ight.\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ d = 2 \\ \end{matrix} ight.$

$\Rightarrow S_{10} = \frac{\left\lbrack 2u_{1} + 9d ightbrack.n}{2} = 110$
Câu 41: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Dãy số nào là dãy số tăng?
- A.
  $u_{n} = n^{2}$
- B.
  $u_{n} = - 2n^{2} + 3n + 1$
- C.
  $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{u_{n}}}$
- D.
  $u_{n} = 3 - 2n$
Hướng dẫn:
Xét $u_{n} = n^{2}$ ta có: $u_{n + 1} - u_{n} = (n + 1)^{2} - n^{2} = 2n + 1 > 0;\forall n \in \mathbb{N}^{*}$

Vậy $u_{n} = n^{2}$ là dãy số tăng.
Câu 42: Thông hiểu
Xác định mệnh đề đúng
Cho $\frac{\pi}{2} < x < \pi$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A.
  $\sin\left( \frac{3\pi}{2} - x ight) = 1$
- B.
  $\sin\left( \frac{3\pi}{2} - x ight) = - 1$
- C.
  $\sin\left( \frac{3\pi}{2} - x ight) > 0$
- D.
  $\sin\left( \frac{3\pi}{2} - x ight) < 0$
Hướng dẫn:
Ta có:

$\frac{\pi}{2} < x < \pi \Leftrightarrow - \pi < - x < - \frac{\pi}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{2} - x < \pi$

Do đó điểm cuối của cung có số đo $\frac{3\pi}{2} - x$ thuộc góc phần tư thứ $II$

Vậy $\sin\left( \frac{3\pi}{2} - x ight) > 0$
Câu 43: Thông hiểu
Tính độ dài cung tròn
Xét đường tròn bán kính $20cm$ . Cung tròn có số đo $37^{0}$ có độ dài tương ứng là:
- A.
  $l = \frac{17\pi}{9}(cm)$
- B.
  $l = \frac{37\pi}{9}(cm)$
- C.
  $l = 50(cm)$
- D.
  $l = \frac{9\pi}{37}(cm)$
Hướng dẫn:
Độ dài cung tròn góc $\alpha$ (với $\alpha$ có đơn vị là độ):

$l = \frac{R\pi\alpha}{180^{0}} = \frac{20.\pi.37^{0}}{180^{0}} = \frac{37\pi}{9}(cm)$
Câu 44: Nhận biết
Chọn đáp án đúng
Trên đường tròn lượng giác, cung có số đo $\frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3};\left(k\in\mathbb{ Z} ight)$ được biểu diễn bởi bao nhiêu điểm?
- A.
  $2$
- B.
  $3$
- C.
  $1$
- D.
  $4$
Hướng dẫn:
Xét theo chiều dương với $k = 0,1,2,3$ ta thấy cung có số đo $\frac{\pi}{6} + \frac{k2\pi}{3};\left( k\mathbb{\in Z} ight)$ được biểu diễn bởi ba điểm trên đường tròn lượng giác như sau:
Câu 45: Thông hiểu
Chọn đáp án đúng
Cho một cấp số nhân $\left( u_{n} ight)$ có $u_{1} = 5;q = \frac{1}{3}$ . Hỏi $\frac{5}{59049}$ là số hạng thứ mấy của cấp số nhân?
- A.
  $11$
- B.
  $9$
- C.
  $12$
- D.
  $10$
Hướng dẫn:
Ta có: $u_{n} = u_{1}.q^{n - 1} \Leftrightarrow \frac{5}{59049} = 5.\left( \frac{1}{3} ight)^{n - 1} \Rightarrow n = 11$

Vậy số $\frac{5}{59049}$ là số hạng thứ 11 của cấp số nhân.
Câu 46: Thông hiểu
Chọn khẳng định sai
Cho tứ diện $ABCD$ . Lấy $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,AC,BD,CD$ . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định sai?
- A.
  $MN,PQ$ song song
- B.
  $MN//PQ$
- C.
  $MN,PQ$ cắt nhau
- D.
  $MN,PQ$ chéo nhau
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa

Ta có: MN // PQ (vì cùng song song với BC)

Ta có: $MN = PQ = \frac{1}{2}BC$ (vì $MN//PQ$ lần lượt là các đường trung bình của $ABC,DBC$ .

Từ hai kết quả trên ta suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành nên MQ, PN không thể chéo nhau.
Câu 47: Vận dụng
Chọn đáp án đúng
Tại thủ đô A số giờ có ánh sáng mặt trời trong ngày thứ $x$ (ở đây $x$ là số ngày tính từ ngày 1 tháng giêng) của một năm không nhận được cho bởi công thức:

$T(x) = 12 + 2,83sin\left( \frac{2\pi x}{365} - \frac{32}{73} ight)$ với $x\mathbb{\in Z};0 < x < 365$ .

Hỏi vào ngày nào trong năm thì thủ đô A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời?
- A.
  6/10
- B.
  3/2
- C.
  8/8
- D.
  10/11
Hướng dẫn:
Thủ đô A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời trong ngày nếu

$12 + 2,83sin\left( \frac{2\pi x}{365} - \frac{32}{73} ight) = 10$

$\Leftrightarrow \sin\left( \frac{2\pi x}{365} - \frac{32}{73} ight) = \frac{- 200}{283}$

$\Leftrightarrow \left\lbrack\begin{matrix}\dfrac{2\pi x}{365} - \dfrac{32}{73} \approx - 0,78 + k2\pi \\\dfrac{2\pi x}{365} - \dfrac{32}{73} \approx 3,93 + k2\pi \\\end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

$\Leftrightarrow \left\lbrack \begin{matrix} x \approx 34,49 + 365\pi \\ x \approx 308,30 + 365\pi \\ \end{matrix} ight.\ ;\left( k\mathbb{\in Z} ight)$

Vì $x\mathbb{\in Z};0 < x < 365$ nên $k = 0$ suy ra $\left\lbrack \begin{matrix} x \approx 34,69 \\ x \approx 308,30 \\ \end{matrix} ight.$ .

Như vậy vào khoảng ngày thứ 34 của năm tức là ngày 3 tháng 2 và ngày thứ 308 của năm, tức là ngày 4 tháng 11 thành phố A sẽ có 10 giờ ánh sáng mặt trời.
Câu 48: Thông hiểu
Tìm giao tuyến hai mặt phẳng
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ . Giao tuyến của mặt phẳng $(SAB)$ và mặt phẳng $(SCD)$ là đường thẳng
- A.
  đi qua S và song song với các đường thẳng AD và AB.
- B.
  đi qua S và song song với các đường thẳng CD và AB.
- C.
  đi qua S và song song với các đường thẳng AD và BC.
- D.
  đi qua S và song song với các đường thẳng AB và BD.
Hướng dẫn:
Hình vẽ minh họa:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix} AB//DC \\ AB \subset (SAB) \\ DC \subset (SCD) \\ S \in (SAB) \cap (SCD) \\ \end{matrix} ight.$ suy ra giao tuyến của mặt phẳng $(SAB)$ và mặt phẳng $(SCD)$ là đường thẳng đi qua điểm S và song song với AB và DC.
Câu 49: Thông hiểu
Tính giá trị biểu thức A
Thu gọn biểu thức $A = \sin(\pi + x) + \cos\left( x + \frac{3\pi}{2} ight) + \sin(\pi - x) + \cos\left( \frac{\pi}{2} + x ight)$ thu được kết quả là:
- A.
  $A = - 2\sin x$
- B.
  $A = 0$
- C.
  $A = 2 \sin x$
- D.
  $A = - 2\cos x$
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức về cung liên kết ta có:

$\cos\left( \frac{\pi}{2} + x ight) = \cos\left\lbrack \frac{\pi}{2} - ( - x) ightbrack = \sin( - x) = - \sin x$

$\sin(\pi - x) = \sin x$

$\cos\left( x + \frac{3\pi}{2} ight) = \cos\left( x + \pi + \frac{\pi}{2} ight) = \cos\left( x + \frac{\pi}{2} ight)$

$= - \cos\left\lbrack \frac{\pi}{2} - ( - x) ightbrack = - \sin( - x) = \sin x$

$\sin(\pi + x) = - \sin x$

Suy ra:

$A = \sin(\pi + x) + \cos\left( x + \frac{3\pi}{2} ight) + \sin(\pi - x) + \cos\left( \frac{\pi}{2} + x ight)$

$A = - \sin x + \sin x + \sin x - \sin x = 0$
Câu 50: Thông hiểu
Tìm hàm số chẵn
Xác định hàm số chẵn trong các hàm số dưới đây?
- A.
  $y = \cos2x$
- B.
  $y = \sin x$
- C.
  $y = \sin x.\cos3x$
- D.
  $y = \sin x + \cos x$
Hướng dẫn:
Ta có:

Hàm số $y = \sin x.cos3x$ có tập xác định $D\mathbb{= R}$ nên $\forall x\mathbb{\in R \Rightarrow -}x\mathbb{\in R}$ và

$y( - x) = \sin( - x).\cos( -3x) = - \sin x.\cos3x = - y(x)$

Suy ra hàm số $y = \sin x.\cos3x$ là hàm số lẻ.

Hàm số $y = \cos2x$ là hàm số chẵn vì tập xác định $D\mathbb{= R}$ nên $\forall x\mathbb{\in R \Rightarrow -}x\mathbb{\in R}$ và

$y( - x) = \cos( - 2x) = cos2x = y(x)$

Tương tự ta có hàm số $y = \sin x$ là hàm số lẻ, hàm số $y = \sin x + \cos x$ không chẵn cũng không lẻ.