Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Các phép biến đổi lượng giác Cánh Diều

1. Công thức cộng

\cos \left( {a + b} \right) = \cos a.\cos b - \sin a.\sin b

\cos \left( {a - b} \right) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b

\sin \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b

\sin \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b - \cos a.\sin b

\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}}

\tan \left( {a - b} \right) = \frac{{\tan a - \tan b}}{{1 + \tan a.\tan b}}

Ví dụ: Tính các giá trị lượng giác \sin \left( {a - b} \right);\cos \left( {a + b} \right);\tan \left( {a + b} \right) biết \sin a = \frac{8}{{17}};\tan b = \frac{5}{{12}} và a;b là các góc nhọn.

Hướng dẫn giải

Vì a và b là các góc nhọn nên \cos a > 0;\cos b > 0;\sin b > 0

Khi đó: \cos b = \sqrt {\frac{1}{{{{\tan }^2}b + 1}}} = \frac{{12}}{{13}}

\Rightarrow \sin b = \frac{5}{{13}}

\cos a = \sqrt {1 - {{\sin }^2}a} = \frac{{15}}{{17}}

Vậy

\sin \left( {a - b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b = \frac{{21}}{{221}}

\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b = \frac{{140}}{{221}}

\tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}} = \frac{{171}}{{140}}

2. Công thức nhân đôi

  • \sin 2a = 2\sin a.\cos b
  • \cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a
  • \tan 2a = \frac{{2\tan a}}{{1 - {{\tan }^2}a}}

Mở rộng công thức nhân ba

  • \sin 3a = 3\sin a - 4{\sin ^3}a
  • \cos 3a = 4{\cos ^3}a - 3\cos a

Ví dụ: Chứng minh hệ thức sau: \dfrac{{1 - {{\sin }^2}x}}{{2\cot \left( {\dfrac{\pi }{4} + x} \right).{{\cos }^2}\left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right)}} = \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{\cos 2x}}

Hướng dẫn giải

Biến đổi vế trái ta được:

VT = \dfrac{{1 - {{\sin }^2}x}}{{2\cot \left( {\dfrac{\pi }{4} + x} \right).{{\cos }^2}\left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right)}}

= \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{\cot \left( {\dfrac{\pi }{4} + x} \right).\left[ {1 + \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - 2x} \right)} \right]}}

= \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{\cot \left( {\dfrac{\pi }{4} + x} \right).\left( {1 + \sin 2x} \right)}}

= \tan \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right).\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + \sin 2x}}

= \frac{{1 + \sin 2x}}{{\cos 2x}}.\frac{{{{\cos }^2}x}}{{1 + \sin 2x}} = \frac{{{{\cos }^2}x}}{{\cos 2x}}

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

  • \sin a.\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]
  • \sin a.\sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]
  • \cos a.\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]

Ví dụ: Biến đổi thành tổng:

a) 2\sin x\sin 2x\sin 3x

b) 8\cos x.\sin 2x.\sin 3x

Hướng dẫn giải

a) 2\sin x\sin 2x\sin 3x

= \sin 3x\left( {\cos x - \cos 3x} \right)

= \frac{1}{2}.\left( {2\sin 3x\cos x - \sin 6x} \right)

= \frac{1}{2}.\left( {\sin 4x + \sin 2x - \sin 6x} \right)

b) 8\cos x.\sin 2x.\sin 3x

= 4\sin 3x\left( {\sin 3x + \sin x} \right)

= 4{\sin ^2}3x + \sin 3x\sin x

= 4{\sin ^2}3x + 2\cos 2x - 2\cos 4x

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

\cos a + \cos b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}

\cos a - \cos b = - \sin \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}

\sin a + \sin b = 2\sin \frac{{a + b}}{2}.\cos \frac{{a - b}}{2}

·\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}.\sin \frac{{a - b}}{2}

\tan a + \tan b = \frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\cos a.\cos b}}

\tan a - \tan b = \frac{{\sin \left( {a - b} \right)}}{{\cos a.\cos b}}

\cot a + \cot b = \frac{{\sin \left( {a + b} \right)}}{{\sin a.\sin b}}

\cot a - \cot b = - \frac{{\sin \left( {a - b} \right)}}{{\sin a.\sin b}}

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = \frac{{\cos 7x - \cos 8x - \cos 9x + \cos 10x}}{{\sin 7x - \sin 8x - \sin 9x + \sin 10x}}

b) B = \frac{{\sin 2x + 2\sin 3x + \sin 4x}}{{\sin 3x + 2\sin 4x + \sin 5x}}

c) C = \frac{{1 + \cos x + \cos 2x + \cos 3x}}{{\cos x + 2{{\cos }^2}x - 1}}

d) D = \frac{{\sin 4x + \sin 5x + \sin 6x}}{{\cos 4x + \cos 5x + \cos 6x}}

Hướng dẫn giải

\begin{matrix} {\text{A}} = \dfrac{{(\cos 10x + \cos 7x) - (\cos 9x + \cos 8x)}}{{(\sin 10x + \sin 7x) - (\sin 9x + \sin 8x)}} \hfill \\ = \dfrac{{2\cos \dfrac{{17x}}{2}\cos \dfrac{{3x}}{2} - 2\cos \dfrac{{17x}}{2}\cos \dfrac{x}{2}}}{{2\sin \dfrac{{17x}}{2}\cos \dfrac{{3x}}{2} - 2\sin \dfrac{{17x}}{2}\cos \dfrac{x}{2}}} \hfill \\ = \dfrac{{2\cos \dfrac{{17x}}{2}\left( {\cos \dfrac{{3x}}{2} - \cos \dfrac{x}{2}} \right)}}{{2\sin \dfrac{{17x}}{2}\left( {\cos \dfrac{{3x}}{2} - \cos \dfrac{x}{2}} \right)}} = \cot \dfrac{{17x}}{2} \hfill \\ \end{matrix}

\begin{matrix} B = \dfrac{{(\sin 4x + \sin 2x) + 2\sin 3x}}{{(\sin 5x + \sin 3x) + 2\sin 4x}} \hfill \\ = \dfrac{{2\sin 3x.\cos x + 2\sin 3x}}{{2\sin 4x.\cos x + 2\sin 4x}} \hfill \\ = \dfrac{{2\sin 3x(\cos x + 1)}}{{2\sin 4x(\cos x + 1)}} = \dfrac{{\sin 3x}}{{\sin 4x}} \hfill \\ \end{matrix}

\begin{matrix} C = \dfrac{{(\cos 3x + \cos x) + 1 + 2{{\cos }^2}x - 1}}{{\cos x + \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)}} \hfill \\ = \dfrac{{2\cos 2x.\cos x + 2{{\cos }^2}x}}{{\cos x + \left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)}} \hfill \\ = \dfrac{{2\cos x(\cos 2x + \cos x)}}{{\cos x + \cos 2x}} = 2\cos x \hfill \\ \end{matrix}

\begin{matrix} D = \dfrac{{(\sin 6x + \sin 4x) + \sin 5x}}{{(\cos 6x + \cos 4x) + \cos 5x}} \hfill \\ = \dfrac{{2\sin 5x.\cos x + \sin 5x}}{{2\cos 5x.\cos x + \cos 5x}} \hfill \\ = \dfrac{{\sin 5x(2\cos x + 1)}}{{\cos 5x(2\cos x + 1)}} = \tan 5x \hfill \\ \end{matrix}

  • 12 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CD