Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Dãy số Cánh Diều

1. Khái niệm dãy số

a) Dãy số vô hạn

Hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương {\mathbb{N}^*} được gọi là một dãy số vô hạn (dãy số), nghĩa là:

\begin{matrix} u:{\mathbb{N}^*} \to \mathbb{R} \hfill \\ {\text{ n}} \mapsto {u_n} = u\left( n \right) \hfill \\ \end{matrix}

  • Kí hiệu là u = u\left( n \right) (hoặc có thể viết là u = {u_n}).
  • Dãy số \left( {{u_n}} \right) được viết dưới dạng khai triển là {u_1};{u_2};{u_3};...;{u_n};....

Chú ý:

  • Gọi số hạng đầu là {u_1} = u\left( 1 \right) và {u_n} là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.
  • Nếu \forall n \in {\mathbb{N}^*};{u_n} = c thì \left( {{u_n}} \right) được gọi là dãy số không đổi.

b) Dãy số hữu hạn

  • Hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương M = \left\{ {1;2;3;...;m} \right\},\left( {m \in {\mathbb{N}^*}} \right) được gọi là một dãy số hữu hạn.
  • Dãy số \left( {{u_n}} \right) hữu hạn được viết dưới dạng khai triển là {u_1};{u_2};{u_3};...;{u_m}
  • Gọi số hạng đầu là {u_1} và {u_m} là số hạng thứ cuối của dãy số.
Câu trắc nghiệm mã số: 8050

2. Cách cho một dãy số

Ta có thể cho dãy số bằng một trong những cách sau:

  • Liệt kê các số hạng của dãy số đó (với những dãy số hữu hạn và có ít số hạng).
  • Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó.
  • Cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó.
  • Cho bằng phương pháp truy hồi.

Ví dụ: Tìm 5 số hạng đầu và xác định số hạng tổng quát theo n của dãy số \left\{ \begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = 2u_{n} \\ \end{matrix} \right..

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{matrix} & u_{2} = 2u_{1} = 2.2 = 4 = 2^{2} \\ & u_{3} = 2u_{2} = 2.4 = 8 = 2^{3} \\ & u_{4} = 2u_{3} = 2.8 = 16 = 2^{4} \\ & u_{5} = 2u_{4} = 2.16 = 32 = 2^{5} \\ \end{matrix}

Từ các số hạng đầu tiên, ta dự đoán số hạng tống quát u_{n} có dạng: u_{n} = 2^{n};\forall n \geq 1(*)

Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức (*) đúng.

Với n = 1 , có: u_{1} = 2^{1} = 2 (đúng).

Vậy (*) đúng với n = 1

Giả sử (*) đúng với n = k , có nghĩa ta có: u_{k} = 2^{k} (2)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1 .

Có nghĩa là ta phải chứng minh: u_{k + 1} = 2^{k + 1}

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có:

u_{k + 1} = 2.u_{k} = 2.2^{k} = 2^{k + 1}

Vậy (*) đúng với n = k + 1 .

Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n .

Câu trắc nghiệm mã số: 8049,8048

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

  • Dãy số \left\{ {{u_n}} \right\} được gọi là dãy tăng nếu {u_{n + 1}} > {u_n} với \forall n \in {\mathbb{N}^*}.
  • Dãy số \left\{ {{u_n}} \right\} được gọi là dãy giảm, nếu {u_{n + 1}} < {u_n} với \forall n \in {\mathbb{N}^*}.

Ví dụ: Xét tính tăng giảm của dãy số \left( u_{n} \right) được xác định bởi công thức: u_{n} = \frac{\sqrt{n}}{2^{n}}.

Hướng dẫn giải

Dễ thấy u_{n} > 0\ \forall n \in N^{*} .

Xét tỉ số: \frac{u_{n}}{u_{n + 1}}

Ta có: \frac{u_{n}}{u_{n + 1}} =\frac{\sqrt{n}}{2^{n}} . \frac{2^{n + 1}}{\sqrt{n + 1}} =\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}} > 1\ (\forall n \geq 1)

Thật vậy: \frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n + 1}}> 1 \Leftrightarrow \frac{4n}{n + 1} > 1

\Leftrightarrow 4n > n+ 1 \Leftrightarrow 3n > 1 (đúng \forall n \geq 1 )

Kết luận: \left( u_{n} \right) là một dãy số giảm.

Câu trắc nghiệm mã số: 8058

4. Dãy số bị chặn

Dãy số \left\{ {{u_n}} \right\} được gọi là bị chặn trên, nếu như tồn tại hằng số A sao cho:

{u_n} \leqslant A;\forall n \in {\mathbb{N}^*}

Dãy số \left\{ {{u_n}} \right\} được gọi là bị chặn dưới, nếu như tồn tại hằng số B sao cho:

{u_n} \geqslant B,\forall n \in {\mathbb{N}^*}

Dãy số \left\{ {{u_n}} \right\} vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại các số A,B sao cho:

B \leqslant {u_n} \leqslant A;\forall n \in {\mathbb{N}^*}

Ví dụ: Chứng minh dãy số \left( u_{n} \right) với {u_n} = \frac{{7n + 5}}{{5n + 7}} là một dãy số tăng và bị chặn.

Hướng dẫn giải

Công thức u_{n} được viết lại: u_{n} = \frac{7}{5} - \frac{24}{5(5n + 7)}

Xét hiệu số:

u_{n + 1} - u_{n} = \left( \frac{7}{5} - \frac{24}{5\lbrack 5(n + 1) + 7\rbrack} \right) - \left( \frac{7}{5} - \frac{24}{5(5n + 7)} \right)

= \frac{24}{5}\left( \frac{1}{5n + 7} -\frac{1}{5(n + 1) + 7} \right) > 0\ \forall n \geq 1

\Rightarrow u_{n + 1} > u_{n}

Vậy dãy số \left( u_{n} \right) là dãy số tăng.

Ta có: 0 < \frac{1}{5n + 7} \leq \frac{1}{12}\ \forall n \geq 1

\Leftrightarrow 0 > - \frac{24}{5(5n + 7)} \geq - \frac{2}{5}

\Leftrightarrow \frac{7}{5} > \frac{7}{5} - \frac{24}{5(5n + 7)} \geq \frac{7}{5} - \frac{2}{5}

\Leftrightarrow 1 \leq u_{n} < \frac{7}{5}

Suy ra \left( u_{n} \right) là một dãy số bị chặn.

Kết luận \left( u_{n} \right) là một dãy số tăng và bị chặn.

Câu trắc nghiệm mã số: 8098
  • 6 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CD