Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Phép tính lôgarit Cánh Diều

A. Khái niệm lôgarit

1. Định nghĩa

Cho hai số thực dương a,b với a \neq 1. Số thực c để a^{c} = b được cho là lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là \log_{a}b, nghĩa là:

c = \log_{a}b \Leftrightarrow a^{c} =b

Chú ý: \log_{a}b xác định khi và chỉ khi a > 0,a \neq 1,b > 0.

2. Tính chất

Với số thực dương a \neq 1, số thực dương b, ta có:

\log_{a}1 = 0 \log_{a}a = 1
\log_{a}a^{c} = c a^{\log_{a}b} = b

Ví dụ: Tính giá trị của các biểu thức:

a) \log_{3}9^{\frac{1}{5}} b) \log_{10}\frac{1}{\sqrt[3]{10}} c) \left( \frac{1}{25}\right)^{\log_{5}\frac{1}{3}}

Hướng dẫn giải

a) \log_{3}9^{\frac{1}{5}} =\log_{3}3^{\frac{2}{5}} = \frac{2}{5}

b) \log_{10}\frac{1}{\sqrt[3]{10}} =\log_{10}10^{- \frac{1}{3}} = - \frac{1}{3}

c) \left( \frac{1}{25}\right)^{\log_{5}\frac{1}{3}} = \left( 5^{- 2}\right)^{\log_{5}\frac{1}{3}} = 5^{- 2.\log_{5}\frac{1}{3}}

= \left( 5^{\log_{5}\frac{1}{3}}\right)^{- 2} = \left( \frac{1}{3} \right)^{- 2} = 3^{2} =9

Câu trắc nghiệm mã số: 44265,44263

3. Lôgarit thập phân. Lôgarit tự nhiên

  • Lôgarit cơ số 10 của số thực dương b được gọi là lôgarit thập phân của b và kí hiệu là \log b hay \lg b.
  • Lôgarit cơ số e của số thực dương b được gọi là lôgarit tự nhiên của b và kí hiệu là \ln b.

B. Một số tính chất của phép tính lôgarit

1. Lôgarit của một tích, một thương

Với ba số thực a,m,n và a \neq 1, ta có:

  • \log_{a}(mn) = \log_{a}m +\log_{a}n
  • \log_{a}\left( \frac{m}{n} \right) =\log_{a}m - \log_{a}n
Câu trắc nghiệm mã số: 44269

Chú ý: Với a > 0,a \neq 1,b > 0 khi đó: \log_{a}\left( \frac{1}{b} \right) = -\log_{a}b.

Ví dụ: Đặt \log x =a,\log y = b,\log z = c với x,y,z > 0. Biểu thị các biểu thức sau theo a,b,c:

a) \log(xyz) b) \log\frac{x^{3}\sqrt[3]{y}}{100\sqrt{z}} c) \log_{z}\left( xy^{2} \right),(z \neq1)

Hướng dẫn giải

a) \log(xyz) = \log x + \log y + \log z

= a + b + c

b) \log\frac{x^{3}\sqrt[3]{y}}{100\sqrt{z}} = \log\left( x^{3}\sqrt[3]{y} \right) - \log\left( 100\sqrt{z} \right)

= \log\left( x^{3}y^{\frac{1}{3}} \right) - \log\left( 10^{2}.z^{\frac{1}{2}} \right)

= 3\log x + \frac{1}{3}\log y - 2 -\frac{1}{2}\log z

= 3a + \frac{1}{2}b - \frac{1}{2}c - 2

c) \log_{z}\left( xy^{2} \right) =\frac{\log\left( xy^{2} \right)}{\log z}

= \frac{\log x + 2\log y}{\log z} =\frac{a + 2b}{c}

Câu trắc nghiệm mã số: 44280

Chú ý: Với n số thực dương b_{1},b_{2},b_{3},...,b_{n} và a > 0,a \neq 1 ta có:

\log_{a}\left( b_{1}b_{2}b_{3}...b_{n}\right) = \log_{a}\left( b_{1} \right) + \log_{a}\left( b_{2} \right) +... + \log_{a}\left( b_{n} \right)

2. Lôgarit của một lũy thừa

Cho a > 0,a \neq 1,b > 0. Với mọi số thực \alpha, ta có:

\log_{a}\left( b^{\alpha} \right) =\alpha \log_{a}b

Chú ý: Với mọi số nguyên dương n \geq 2,a > 0,a \neq 1,b > 0 ta có:

\log_{a}\sqrt[n]{b} =\frac{1}{n}\log_{a}b

3. Đổi cơ số của lôgarit

Với a,c là hai số thực dương khác 1 và b là số thực dương, ta có:

\log_{a}b =\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}

Nhận xét: Với a > 0 và a \neq 1,b > 0 và b \neq 1,c > 0,\alpha \neq 0 , ta có những công thức sau:

  • \log_{a}b.\log_{b}c =\log_{a}c
  • \log_{a}b =\frac{1}{\log_{b}a}
  • \log_{a^{\alpha}}b =\frac{1}{\alpha}\log_{a}b

Ví dụ: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \log_{9}\frac{1}{27} b) \log_{8}9.\log_{27}\frac{1}{16} c) \log_{4}27.\log_{3}5.\log_{25}8

Hướng dẫn giải

a) \log_{9}\frac{1}{27} =\frac{\log_{3}\dfrac{1}{27}}{\log_{3}9} = \frac{\log_{3}3^{-3}}{\log_{3}3^{2}} = - \frac{3}{2}

b) \log_{8}9.\log_{27}\frac{1}{16} =\frac{\log_{2}9}{\log_{2}8}.\frac{\log_{2}\frac{1}{16}}{\log_{2}27}

=\frac{\log_{2}3^{2}}{\log_{2}2^{3}}.\frac{\log_{2}2^{- 4}}{\log_{2}3^{3}} =\frac{2\log_{2}3}{3\log_{2}2}.\frac{- 4\log_{2}2}{3\log_{2}3}

= \frac{2}{3}.\frac{- 4}{3} = - \frac{8}{9}

c) \log_{4}27.\log_{3}5.\log_{25}8

=\frac{\log_{2}27}{\log_{2}4}.\frac{\log_{2}5}{\log_{2}3}.\frac{\log_{2}8}{\log_{2}25}

=\frac{\log_{2}3^{3}}{\log_{2}2^{2}}.\frac{\log_{2}5}{\log_{2}3}.\frac{\log_{2}2^{3}}{\log_{2}5^{2}}

=\frac{3\log_{2}3}{2\log_{2}2}.\frac{\log_{2}5}{\log_{2}3}.\frac{3\log_{2}2}{2\log_{2}5}= \frac{9}{4}

Câu trắc nghiệm mã số: 44286,44284
  • 2 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CD