Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Giới hạn của hàm số Cánh Diều

A. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1. Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số

Cho K chứa điểm x_{0} và hàm số f(x) xác định trên K hoặc trên K\backslash\left\{ x_{0} \right\} . Hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x \rightarrow x_{0} nếu với dãy số \left( x_{n} \right) bất kì, x_{n} \in K\backslash\left\{ x_{0} \right\} và x_{n} \rightarrow x_{0} thì f\left( x_{n} \right) \rightarrow L .

Kí hiệu \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = L hay f(x) \rightarrow L khi x \rightarrow x_{0} .

Chú ý:

  • \lim_{x \rightarrow x_{0}}x = x_{0};\lim_{x \rightarrow x_{0}}c = c;(c = const)
  • Hàm số f(x) có thể không xác định tại x = x_{0} nhưng vẫn tồn tại giới hạn của hàm số khi x \rightarrow x_{0} .

2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số

Cho \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = L , \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x) = M . Ta có:

\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack f(x) + g(x) \right\rbrack = L + M \lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack f(x).g(x) \right\rbrack = L.M
\lim_{x \rightarrow x_{0}}\left\lbrack f(x) - g(x) \right\rbrack = L - M \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M},(M \neq 0)

Định lí 2: Nếu \left\{ \begin{gathered} f\left( x \right) \geqslant 0;\forall x \in \left( {a,b} \right)\backslash \left\{ {{x_0}} \right\} \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = L \hfill \\ \end{gathered} \right. thì \left\{ \begin{matrix} L \geq 0 \\ \lim\sqrt{f(x)} = \sqrt{L} \\ \end{matrix} \right. .

Định lí 3: Nếu \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = L thì \lim_{x \rightarrow x_{0}}\left| f(x) \right| = |L| .

Ví dụ: Tính giới hạn:

a) \lim_{x \rightarrow - 5}\frac{x^{2} + 2x - 15}{x + 5} b) \lim_{x \rightarrow 1}\sqrt{\frac{5x - 1}{2x + 7}}
c) \lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^{3} - 1}{x(x + 5) - 6} d) \lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt{2x^{2} + x - 1}}{|x + 1|}

Hướng dẫn giải

a) \lim_{x \rightarrow - 5}\frac{x^{2} + 2x - 15}{x + 5} = \lim_{x \rightarrow - 5}\frac{(x + 5)(x - 3)}{x + 5}

= \lim_{x \rightarrow - 5}(x - 3) = - 8

b) \lim_{x \rightarrow 1}\sqrt{\frac{5x - 1}{2x + 7}} = \frac{2}{3}

c) \lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^{3} - 1}{x(x + 5) - 6}

= \lim_{x \rightarrow 1}\frac{(x - 1)\left( x^{2} + x + 1 \right)}{(x - 1)(x + 6)}

= \lim_{x \rightarrow 1}\frac{x^{2} + x + 1}{x + 6} = \frac{3}{7}

d) \lim_{x \rightarrow 1}\frac{\sqrt{2x^{2} + x - 1}}{|x + 1|} = \frac{\sqrt{2.1^{2} + 1 - 1}}{|1 + 1|} = \frac{\sqrt{2}}{2}

3. Giới hạn một phía

Giới hạn trái: Cho hàm số y = f(x) xác định trên \left( a,x_{0} \right) .

Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x \rightarrow x_{0} nếu với mọi dãy \left( x_{n} \right):a < x_{0} < x_{n} mà x_{n} \rightarrow x_{0} thì ta có: f\left( x_{n} \right) \rightarrow L .

Kí hiệu: \lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{-}}f(x) = L .

Giới hạn phải: Cho hàm số y = f(x) xác định trên \left( x_{0},b \right) .

Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x dần x \rightarrow x_{0} nếu với mọi dãy \left( x_{n} \right):x_{0} < x_{n} < b mà x_{n} \rightarrow x_{0} thì ta có: f\left( x_{n} \right) \rightarrow L .

Kí hiệu: \lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{+}}f(x) = L .

Chú ý:

\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = L khi và chỉ khi \lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{+}}f(x) = L và \lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{-}}f(x) = L .

Ví dụ: Tính giới hạn:

a) \lim_{x \rightarrow 2^{+}}\frac{\sqrt{x^{2} + 4x + 4}}{x + 2} b) \lim_{x \rightarrow 3^{-}}\frac{|3 - x|}{3 - x}

Hướng dẫn giải

a) \lim_{x \rightarrow 2^{+}}\frac{\sqrt{x^{2} + 4x + 4}}{x + 2} = \lim_{x \rightarrow 2^{+}}\frac{|x + 2|}{x + 2}

= \lim_{x \rightarrow 2^{+}}\frac{x + 2}{x + 2} = 1

b) \lim_{x \rightarrow 3^{-}}\frac{|3 - x|}{3 - x} = \lim_{x \rightarrow 3^{-}}\frac{3 - x}{3 - x} = 1

B. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Hàm số y = f(x) xác định trên (a, + \infty) có giới hạn L khi x_{n} \rightarrow + \infty nếu với mọi dãy số \left( x_{n} \right):x_{n} > a và x_{n} \rightarrow + \infty thì f\left( x_{n} \right) \rightarrow L .

Kí hiệu \lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = L

Hàm số y = f(x) xác định trên ( - \infty,b) có giới hạn L khi x_{n} \rightarrow - \infty nếu với mọi dãy số \left( x_{n} \right):x_{n} < b và x_{n} \rightarrow - \infty thì f\left( x_{n} \right) \rightarrow L .

Kí hiệu \lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = L

Chú ý:

Với c là hằng số ta có: \lim_{x \rightarrow + \infty}c = c;\lim_{x \rightarrow - \infty}c = c

Với k là một số nguyên dương ta có: \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{1}{x^{k}} = 0;\lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{1}{x^{k}} = 0

Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.

Ví dụ: Tính các giới hạn sau:

a) \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{x^{2} + x + 1}{2x^{3} + 2x + 5} b) \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{x - \sqrt{2x^{2} + 1}}{2x + 3\sqrt{x^{2} + 1}}

Hướng dẫn giải

a) \lim_{x \rightarrow + \infty}\frac{x^{2} + x + 1}{2x^{3} + 2x + 5}

= \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{x^{2}\left( 1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}\right)}{x^{3}\left( 2 + x^{2} + \dfrac{5}{x^{3}} \right)}

= \lim_{x \rightarrow + \infty}\dfrac{1 +\frac{1}{x} + \dfrac{1}{x^{2}}}{x\left( 2 + x^{2} + \dfrac{5}{x^{3}}\right)} = 0

b) \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{x - \sqrt{2x^{2} + 1}}{2x + 3\sqrt{x^{2} + 1}}

= \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{x -|x|\sqrt{2 + \dfrac{1}{x^{2}}}}{2x + 3|x|\sqrt{1 +\dfrac{1}{x^{2}}}}

= \frac{1 + \sqrt{2}}{- 1} = - 1 - \sqrt{2}

C. Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm

Giới hạn trái: Cho hàm số y = f(x) xác định trên \left( a,x_{0} \right) .

Hàm số y = f(x) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x \rightarrow x_{0} về bên trái với mọi dãy \left( x_{n} \right):a < x_{0} < x_{n} mà x_{n} \rightarrow x_{0} thì ta có: f\left( x_{n} \right) \rightarrow + \infty .

Kí hiệu: \lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{-}}f(x) = + \infty .

Giới hạn phải: Cho hàm số y = f(x) xác định trên \left( x_{0},b \right) .

Hàm số y = f(x) có giới hạn dần tới dương vô cực khi x \rightarrow x_{0} về bên phải với mọi dãy \left( x_{n} \right):x_{0} < x_{n} < b mà x_{n} \rightarrow x_{0} thì ta có: f\left( x_{n} \right) \rightarrow + \infty .

Kí hiệu: \lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{+}}f(x) = + \infty .

Các giới hạn một bên \lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{+}}f(x) = - \infty;\lim_{x \rightarrow {x_{0}}^{-}}f(x) = - \infty cũng được định nghĩa tương tự.

Ví dụ: Xác định giới hạn của hàm số \lim_{x \rightarrow a^{-}}\frac{1}{x - a} .

Hướng dẫn giải

Ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} 1 = 1 > 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \left( {1 - a} \right) = 0 \hfill \\ x - a < 0{\text{ khi }}x \to {a^ - } \hfill \\ \end{gathered} \right.

Vậy \lim_{x \rightarrow a^{-}}\frac{1}{x - a} = - \infty

D. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực.

  • Hàm số y = f(x) xác định trên (a, + \infty) có giới hạn L khi x_{n} \rightarrow + \infty nếu với mọi dãy số \left( x_{n} \right):x_{n} > a và x_{n} \rightarrow + \infty thì f\left( x_{n} \right) \rightarrow L .

Kí hiệu \lim_{x \rightarrow + \infty}f(x) = L

  • Hàm số y = f(x) xác định trên ( - \infty,b) có giới hạn L khi x_{n} \rightarrow - \infty nếu với mọi dãy số \left( x_{n} \right):x_{n} < b và x_{n} \rightarrow - \infty thì f\left( x_{n} \right) \rightarrow L .

Kí hiệu \lim_{x \rightarrow - \infty}f(x) = L

Chú ý:

  • Với k là một số nguyên dương ta có: \lim_{x \rightarrow + \infty}x^{k} = + \infty
  • Với k là một số nguyên dương chẵn ta có: \lim_{x \rightarrow - \infty}x^{k} = + \infty
  • Với k là một số nguyên dương lẻ ta có: \lim_{x \rightarrow - \infty}x^{k} = - \infty

Ví dụ: Tính giới hạn các hàm số sau:

a) \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{3x^{2} + 4x - 5}{x + 3} b) \lim_{x \rightarrow - \infty}\left( 2 - 3x + 5x^{2} \right)
c) \lim_{x \rightarrow + \infty}\left( 7x^{4} - 4x + 2 \right)  

Hướng dẫn giải

a) \lim_{x \rightarrow - \infty}\frac{3x^{2} + 4x - 5}{x + 3}

\lim_{x \rightarrow - \infty}\dfrac{3 +\dfrac{4}{x} - \dfrac{5}{x^{2}}}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{x^{2}}} = -\infty

b) \lim_{x \rightarrow - \infty}\left( 2 - 3x + 5x^{2} \right)

= \lim_{x \rightarrow - \infty}\left\lbrack x^{2}\left( \frac{2}{x^{2}} - \frac{3}{x} + 5 \right) \right\rbrack = + \infty

c) \lim_{x \rightarrow + \infty}\left( 7x^{4} - 4x + 2 \right)

= \lim_{x \rightarrow + \infty}\left\lbrack x^{4}\left( 7 - \frac{4}{x^{3}} + \frac{2}{x^{4}} \right) \right\rbrack = + \infty

  • 3 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CD