Cho chứa điểm
và hàm số
xác định trên
hoặc trên
. Hàm số
có giới hạn là số
khi
nếu với dãy số
bất kì,
và
thì
.
Kí hiệu hay
khi
.
Chú ý:
Cho ,
. Ta có:
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Định lí 2: Nếu thì
.
Định lí 3: Nếu thì
.
Ví dụ: Tính giới hạn:
a) ![]() |
b) ![]() |
c) ![]() |
d) ![]() |
Hướng dẫn giải
a)
b)
c)
d)
Giới hạn trái: Cho hàm số xác định trên
.
Số L gọi là giới hạn bên trái của hàm số khi
nếu với mọi dãy
mà
thì ta có:
.
Kí hiệu: .
Giới hạn phải: Cho hàm số xác định trên
.
Số L gọi là giới hạn bên phải của hàm số khi x dần
nếu với mọi dãy
mà
thì ta có:
.
Kí hiệu: .
Chú ý:
khi và chỉ khi
và
.
Ví dụ: Tính giới hạn:
a) ![]() |
b) ![]() |
Hướng dẫn giải
a)
b)
B. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực
Hàm số xác định trên
có giới hạn L khi
nếu với mọi dãy số
và
thì
.
Kí hiệu
Hàm số xác định trên
có giới hạn L khi
nếu với mọi dãy số
và
thì
.
Kí hiệu
Chú ý:
Với c là hằng số ta có:
Với k là một số nguyên dương ta có:
Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
Ví dụ: Tính các giới hạn sau:
a) ![]() |
b) ![]() |
Hướng dẫn giải
a)
b)
Giới hạn trái: Cho hàm số xác định trên
.
Hàm số có giới hạn dần tới dương vô cực khi
về bên trái với mọi dãy
mà
thì ta có:
.
Kí hiệu: .
Giới hạn phải: Cho hàm số xác định trên
.
Hàm số có giới hạn dần tới dương vô cực khi
về bên phải với mọi dãy
mà
thì ta có:
.
Kí hiệu: .
Các giới hạn một bên cũng được định nghĩa tương tự.
Ví dụ: Xác định giới hạn của hàm số .
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy
Kí hiệu
Kí hiệu
Chú ý:
Ví dụ: Tính giới hạn các hàm số sau:
a) ![]() |
b) ![]() |
c) ![]() |
Hướng dẫn giải
a)
b)
c)