Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Đạo hàm cấp hai Cánh Diều

I. Định nghĩa đạo hàm cấp hai

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm y' = f'(x) tại mọi điểm x \in (a;b).

Nếu hàm số y' = f'(x) tiếp tục có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' tại x là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x.

Kí hiệu: y'' hoặc f''(x)

Ví dụ: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = \sin5x.\cos2x b) y = \frac{2x + 1}{x^{2} + x - 2} c) y = \frac{x}{x^{2} - 1}
d) y = \frac{x - 1}{x + 2} e) y = x^{2}\sin x f) y = x\sqrt{x^{2} - 1}

Hướng dẫn giải

a) y = \sin5x.\cos2x = \frac{1}{2}(\sin7x +\sin3x)

Ta có:

y' = \frac{1}{2}(7\cos7x +3\cos3x)

\Rightarrow y'' = -\frac{1}{2}(49\sin7x + 9\sin3x)

b) y = \frac{2x + 1}{x^{2} + x - 2} = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2}

Ta có:

\Rightarrow y' = - \frac{1}{(x - 1)^{2}} - \frac{1}{(x + 2)^{2}}

\Rightarrow y' = \left\lbrack - \frac{1}{(x - 1)^{2}} - \frac{1}{(x + 2)^{2}} \right\rbrack'

= \frac{\left\lbrack (x - 1)^{2} \right\rbrack'}{(x - 1)^{4}} + \frac{\left\lbrack (x + 2)^{2} \right\rbrack'}{(x + 2)^{2}}

= \frac{2(x - 1)}{(x - 1)^{4}} + \frac{2(x + 2)}{(x + 2)^{4}}

= \frac{2}{(x - 1)^{3}} + \frac{2}{(x + 2)^{3}}

c) y = \frac{x}{x^{2} - 1} = \frac{1}{2}\left( \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1} \right)

\Rightarrow y' = \frac{1}{2}\left\lbrack \frac{- (x + 1)'}{(x + 1)^{2}} + \frac{- (x - 1)'}{(x - 1)^{2}} \right\rbrack

= \frac{1}{2}.\left\lbrack - \frac{1}{(x + 1)^{2}} - \frac{1}{(x - 1)^{2}} \right\rbrack

\Rightarrow y'' = \left\{ \frac{1}{2}.\left\lbrack - \frac{1}{(x + 1)^{2}} - \frac{1}{(x - 1)^{2}} \right\rbrack \right\}'

= \frac{1}{2}.\left\{ \frac{\left\lbrack (x + 1)^{2} \right\rbrack'}{(x + 1)^{4}} + \frac{\left\lbrack (x - 1)^{2} \right\rbrack'}{(x - 1)^{4}} \right\}

= \frac{1}{2}.\left\lbrack \frac{2(x + 1)}{(x + 1)^{4}} + \frac{2(x - 1)}{(x - 1)^{4}} \right\rbrack

= \frac{1}{(x + 1)^{3}} + \frac{1}{(x - 1)^{3}}

d) y = \frac{x - 1}{x + 2} = 1 - \frac{3}{x + 2}

Ta có:

y' = \left\lbrack 1 - \frac{3}{x + 2} \right\rbrack' = \left\lbrack - \frac{3}{x + 2} \right\rbrack'

= \frac{3(x + 2)'}{(x + 2)^{2}} = \frac{3}{(x + 2)^{2}}

\Rightarrow y'' = \left\lbrack \frac{3}{(x + 2)^{2}} \right\rbrack' = \frac{- 3\left\lbrack (x + 2)^{2} \right\rbrack'}{(x + 2)^{4}}

= \frac{- 3.2(x + 2)}{(x + 2)^{4}} = \frac{- 6}{(x + 2)^{3}}

e) y = x^{2}\sin x

\Rightarrow y' = \left( x^{2}\sin x \right)'

= \left( x^{2} \right)'.\sin x +\left( \sin x \right)'.x^{2}

= 2x.\sin x + \cos x.x^{2}

\Rightarrow y'' = (2x.\sin x)'+ \left( \cos x.x^{2} \right)'

= 2\sin x + 2x.\cos x - \sin x.x^{2} +2x.\cos x

= \left( 2 - x^{2} \right)\sin x + 4x\cos x

f) y = x\sqrt{x^{2} - 1}

\Rightarrow y' = \left( x\sqrt{x^{2} - 1} \right)'

= x'.\sqrt{x^{2} - 1} + x\left( \sqrt{x^{2} - 1} \right)'

= \sqrt{x^{2} - 1} + x.\frac{2x}{2\sqrt{x^{2} - 1}}

= \frac{2x^{2} - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}}

\Rightarrow y'' = \left( \frac{2x^{2} - 1}{\sqrt{x^{2} - 1}} \right)'

= \frac{\left( 2x^{2} - 1 \right)'\left( \sqrt{x^{2} - 1} \right) - \left( \sqrt{x^{2} - 1} \right)'\left( 2x^{2} - 1 \right)}{\left( \sqrt{x^{2} - 1} \right)^{2}}

= \dfrac{4x\left( \sqrt{x^{2} - 1}\right) - \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}.\left( 2x^{2} - 1 \right)}{\left(\sqrt{x^{2} - 1} \right)^{2}}

= \frac{2x^{3} + 3x}{\left( \sqrt{x^{2} - 1} \right)^{3}}

Câu trắc nghiệm mã số: 43794,43783

II. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Đạo hàm cấp hai s''(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = s(t) tại thời điểm t.

Ví dụ: Một chất điểm chuyển động được xác định bởi phương trình: S(t) = 2t^{4} + 6t^{2} - 3t + 1 trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét. Tính gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 5(s)?

Hướng dẫn giải

Ta có vận tốc của chất điểm chuyển động được tính bằng công thức:

v(t) = S'(t) = 8t^{3} + 12t - 3(m/s)

Khi đó gia tốc của chất điểm chuyển động được tính bằng công thức:

a(t) = v'(t) = s''(t) = 24t^{2} + 12\left( m/s^{2} \right)

Tại thời điểm t = 5(s) gia tốc của chất điểm là:

a(5) = 24.5^{2} + 12 = 612\left( m/s^{2} \right).

Câu trắc nghiệm mã số: 43784,43788
  • 2 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CD