Phép tính lũy thừa với số mũ thực Cánh Diều

A. Phép tính lũy thừa với số mũ hữu tỉ

1. Phép tính lũy thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0 , ta có: a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

Chú ý:

  • 0^{0}0^{- n} (với n nguyên dương) không có nghĩa.
  • Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

2. Căn bậc n

a) Định nghĩa

Cho số thực a và số nguyên dương n,(n \geq 2). Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu b^{n} =
a.

Nhận xét:

  • Với n lẻ và a\in\mathbb{ R}: Có duy nhất một căn bậc n của a , kí hiệu là \sqrt[n]{a} .
  • Với n chẵn, ta xét các trường hợp sau:
    • a < 0: Không tồn tại căn bậc n của a.
    • a = 0: Có một căn bậc n của a là số 0.
    • a > 0: Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau. Kí hiệu giá trị dương là \sqrt[n]{a}, còn giá trị âm là - \sqrt[n]{a}.

b) Tính chất

Với các biểu thức đều có nghĩa ta có:

\sqrt[n]{a^{n}} = \left\{
\begin{matrix}
a\ \ \ \ \ \ \ \ khi\ n = 2k + 1 \\
|a|\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ n = 2k \\
\end{matrix} \right.\ ;\left( k \in \mathbb{N}^{*} \right) \sqrt[n]{a.b} =
\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}
\sqrt[n]{\frac{a}{b}} =
\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \sqrt[n]{a^{p}} = \left( \sqrt[n]{a}
\right)^{p}
\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} =
\sqrt[{mn}]{a};\sqrt[n]{a} = \sqrt[{mn}]{a^{m}}  

Ví dụ: Tính giá trị các biểu thức:

a) \sqrt[3]{135} -
5\sqrt[3]{5} b) \sqrt[4]{\sqrt[3]{81}} +
3\sqrt[3]{3}
c) \sqrt[4]{\sqrt[5]{16}} + \sqrt[5]{64}
+ 2\sqrt[5]{2} d) \left( \sqrt[4]{5} \right)^{5} -
\sqrt{\sqrt[4]{25}}

Hướng dẫn giải

a) \sqrt[3]{135} - 5\sqrt[3]{5} =
\sqrt[3]{3^{3}.5} - 5\sqrt[3]{5}

= 3\sqrt[3]{5} - 5\sqrt[3]{5} = -
2\sqrt[3]{5}

b) \sqrt[4]{\sqrt[3]{81}} + 3\sqrt[3]{3}
= \sqrt[4]{\sqrt[3]{3^{4}}} + 3\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{\sqrt[4]{3^{4}}} +
3\sqrt[3]{3}

= \sqrt[3]{3} + 3\sqrt[3]{3} =
4\sqrt[3]{3}

c) \sqrt[4]{\sqrt[5]{16}} + \sqrt[5]{64}
+ 2\sqrt[5]{2} = \sqrt[4]{\sqrt[5]{2^{4}}} + \sqrt[5]{2^{6}} +
2\sqrt[5]{2}

= \sqrt[5]{\sqrt[4]{2^{4}}} +
2\sqrt[5]{2} + 2\sqrt[5]{2}

= \sqrt[5]{2} + 2\sqrt[5]{2} +
2\sqrt[5]{2} = 5\sqrt[5]{2}

d) \left( \sqrt[4]{5} \right)^{5} -
\sqrt{\sqrt[4]{25}} = \sqrt[4]{5^{5}} -
\sqrt{\sqrt[4]{5^{2}}}

= 5\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{\sqrt{5^{2}}}
= 5\sqrt[4]{5} - \sqrt[4]{5} = 4\sqrt[4]{5}

Câu trắc nghiệm mã số: 36196,36195

3. Phép tính lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực a dương và số hữu tỉ r = \frac{m}{n}, trong đó m\in\mathbb{ Z},n\in\mathbb{ N},n \geq 2. Lũy thừa của a với số mũ r xác định bởi a^{r} = a^{\frac{m}{n}} =
\sqrt[n]{a^{m}}.

Nhận xét:

  • a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a};\left( a> 0,n\in\mathbb{ N},n \geq 2 \right)
  • Lũy thừa với số mũ hữu tỉ của số thực dương có đầy đủ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên.

Ví dụ: Cho a,b là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

a) a^{\frac{1}{3}}.\sqrt{a} b) b^{\frac{1}{2}}.b^{\frac{1}{3}}.\sqrt[6]{b}
c) a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a} d) \sqrt[3]{b}:b^{\frac{1}{6}}

Hướng dẫn giải

a) a^{\frac{1}{3}}.\sqrt{a} =
a^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} =
a^{\frac{5}{6}}

b) b^{\frac{1}{2}}.b^{\frac{1}{3}}.\sqrt[6]{b} =
b^{\frac{1}{2}}.b^{\frac{1}{3}}.b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{2} +
\frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = b

c) a^{\frac{4}{3}}:\sqrt[3]{a} =
a^{\frac{4}{3}}:a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{4}{3} - \frac{1}{3}} =
a

d) \sqrt[3]{b}:b^{\frac{1}{6}} =
b^{\frac{1}{3}}:b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{3} - \frac{1}{6}} =
b^{\frac{1}{6}}

Câu trắc nghiệm mã số: 36185

B. Phép tính lũy thừa với số mũ thực

1. Định nghĩa

Cho a là số thực dương, \alpha là dãy số hữu tỉ và \lim r_{n} = \alpha. Giới hạn của dãy số \left( a^{r_{n}} \right) gọi là lũy thừa của a với số mũ \alpha, kí hiệu a^{\alpha} , a^{\alpha} = \lim a^{r_{n}}.

Nhận xét: 1^{\alpha} =
1;\forall\alpha\mathbb{\in R}

2. Tính chất

Cho a,b là những số thực dương; \alpha,\beta là những số thực tùy ý. Khi đó ta có:

a^{\alpha}.a^{\beta} = a^{\alpha +
\beta} \frac{a^{\alpha}}{a^{\beta}} =
a^{\alpha - \beta}
\frac{a^{\alpha}}{b^{\alpha}} = \left(
\frac{a}{b} \right)^{\alpha} (ab)^{\alpha} =
a^{\alpha}.b^{\alpha}
\left( a^{\alpha} \right)^{\beta} =
a^{\alpha\beta}  

Nếu a > 1 thì a^{\alpha} > a^{\beta} \Leftrightarrow \alpha
> \beta.

Nếu 0 < a < 1 thì a^{\alpha} > a^{\beta} \Leftrightarrow \alpha
< \beta.

Ví dụ: Cho a là số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) \left( a^{\sqrt{6}}
\right)^{\sqrt{24}} b) a^{\sqrt{2}}.\left( \frac{1}{a}
\right)^{\sqrt{2} - 1}
c) a^{- \sqrt{3}}:a^{\left( \sqrt{3} - 1
\right)^{2}} d) \sqrt[3]{a}.\sqrt[4]{a}.\sqrt[12]{a^{5}}

Hướng dẫn giải

a) \left( a^{\sqrt{6}}
\right)^{\sqrt{24}} = a^{\sqrt{6.24}} = a^{12}

b) a^{\sqrt{2}}.\left( \frac{1}{a}
\right)^{\sqrt{2} - 1} = a^{\sqrt{2}}.a^{1 - \sqrt{2}} = a^{\sqrt{2} + 1
- \sqrt{2}} = a

c) a^{- \sqrt{3}}:a^{\left( \sqrt{3} - 1
\right)^{2}} = a^{- \sqrt{3}}:a^{4 - 2\sqrt{3}} = a^{- \sqrt{3} - 4 +
2\sqrt{3}} = a^{- 4 + \sqrt{3}}

d) \sqrt[3]{a}.\sqrt[4]{a}.\sqrt[12]{a^{5}} =
a^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{1}{4}}.a^{\frac{5}{12}} = a^{\frac{1}{3} +
\frac{1}{4} + \frac{5}{12}} = a

Câu trắc nghiệm mã số: 36186
  • 2 lượt xem
Sắp xếp theo