Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Phương trình lượng giác cơ bản Cánh Diều

1. Phương trình tương đương

Định nghĩa phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

Chú ý: Để chỉ sự tương đương của các phương trình ta dùng kí hiệu "\Leftrightarrow"

Nhận xét: Nếu phương trình f(x) = g(x) tương đương với phương trình f_1(x) = g_1­(x) thì ta viết f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow {f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right).

Các phép biến đổi tương đương

a) Cộng hoặc trừ hai vế với cùng một số hoặc một biểu thức.

f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) + h\left( x \right) = g\left( x \right) + h\left( x \right)

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right).h\left( x \right) = g\left( x \right).h\left( x \right) với h\left( x \right) \ne 0

Ví dụ: Cho phương trình {x^2} = 3x. Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào tương đương với phương trình đã cho.

\left( a \right):{x^2} + \sqrt {x - 2} = 3x + \sqrt {x - 2}

\left( b \right):{x^2} + \frac{1}{{x - 3}} = 3x + \frac{1}{{x - 3}}

\left( c \right):{x^2}\sqrt {x - 3} = 3x\sqrt {x - 3}

\left( d \right):{x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} = 3x + \sqrt {{x^2} + 1}

Hướng dẫn giải

\begin{matrix} \left( a \right):{x^2} + \sqrt {x - 2} = 3x + \sqrt {x - 2} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 2 \hfill \\ {x^2} - 3x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 3 \hfill \\ \end{matrix}

\begin{matrix} \left( b \right):{x^2} + \dfrac{1}{{x - 3}} = 3x + \dfrac{1}{{x - 3}} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \ne 3 \hfill \\ {x^2} - 3x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 0 \hfill \\ \end{matrix}

\begin{matrix} \left( c \right):{x^2}\sqrt {x - 3} = 3x\sqrt {x - 3} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x \geqslant 3 \hfill \\ {x^2} - 3x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow x = 3 \hfill \\ \end{matrix}

\begin{matrix} \left( d \right):{x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} = 3x + \sqrt {{x^2} + 1} \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} = 3x \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{matrix}

Vậy phương trình tương đương với phương trình đã cho là phương trình (d).

2. Phương trình sinx = a

Cho phương trình \sin x = a (1)

+ Nếu \left| a \right| > 1 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu \left| a \right| \leqslant 1 \Rightarrow \exists \beta \in \left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right],\sin \beta = a

(1) \Rightarrow \sin x = \sin \beta \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \beta + k2\pi } \\ {x = \pi - \beta + k2\pi } \end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})

Chú ý: Nếu thỏa mãn điều kiện thì \beta = \arcsin a

Một số phương trình đặc biệt

Mở rộng phương trình

\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})

 

\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi (k \in \mathbb{Z})

\sin x = - 1 \Leftrightarrow x = \frac{{ - \pi }}{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})

 \begin{matrix} \sin f(x) = \sin g(x) \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f(x) = g(x) + k2\pi } \\ {f(x) = \pi - g(x) + k2\pi } \end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right. \hfill \\ \end{matrix}

Ví dụ: Giải phương trình:

a) \sin \left( {3x - {{30}^0}} \right) = \sin {45^0}

b) \sin \left( {4x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0

Hướng dẫn giải

a) \sin \left( {3x - {{30}^0}} \right) = \sin {45^0}

\begin{matrix} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 3x - {30^0} = {45^0} + k{.360^0} \hfill \\ 3x - {30^0} = {180^0} - {45^0} + k{.360^0} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = {25^0} + k{.120^0} \hfill \\ x = {55^0} + k{.120^0} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{matrix}

b) \sin \left( {4x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0

\begin{matrix} \Leftrightarrow 4x - \dfrac{\pi }{3} = k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{{k\pi }}{4};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{matrix}

Câu trắc nghiệm mã số: 8158

3. Phương trình cosx = a

Cho phương trình \cos x = a (2)

+ Nếu \left| a \right| > 1 thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu \left| a \right| \leqslant 1 \Rightarrow \exists \beta \in \left[ {0,\pi } \right],\cos \beta = a

(2) \Rightarrow \cos x = \cos \beta \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \beta + k2\pi } \\ {x = - \beta + k2\pi } \end{array}} \right.(k \in \mathbb{Z})

Chú ý: Nếu thỏa mãn điều kiện thì \beta = \arccos a

Một số phương trình đặc biệt

Mở rộng phương trình ta có

\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})

\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi (k \in \mathbb{Z})

\cos x = - 1 \Leftrightarrow x = - \pi + k2\pi (k \in \mathbb{Z})

 \begin{matrix} \cos f(x) = \cos g(x) \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {f(x) = g(x) + k2\pi } \\ {f(x) = - g(x) + k2\pi } \end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right. \hfill \\ \end{matrix}

Ví dụ: Tìm nghiệm các phương trình sau:

a) \cos \left( {\frac{\pi }{6} - 2x} \right) = - \frac{1}{4}

b) \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)

Hướng dẫn giải

a) \cos \left( {\frac{\pi }{6} - 2x} \right) = - \frac{1}{4}

\begin{matrix} \Leftrightarrow \cos \left( {\dfrac{\pi }{6} - 2x} \right) = \cos t \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{\pi }{6} - 2x = t + k2\pi } \\ {\dfrac{\pi }{6} - 2x = - t + k2\pi } \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \dfrac{\pi }{{12}} - \dfrac{t}{2} - k\pi } \\ {x = \dfrac{\pi }{{12}} + \dfrac{t}{2} - k\pi } \end{array}} \right.;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{matrix}

b) \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)

\begin{matrix} \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x + \dfrac{\pi }{3} = x - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ 2x + \dfrac{\pi }{3} = - x + \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = - \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \hfill \\ x = \dfrac{{k2\pi }}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.;\left( {k \notin \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{matrix}

Câu trắc nghiệm mã số: 2737

4. Phương trình tanx = a

Cho phương trình \tan x = a (3)

+ Với \forall m \Rightarrow \exists \alpha \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2},\frac{\pi }{2}} \right),\tan \beta = a

\begin{matrix} (3) \Leftrightarrow \tan x = \tan \beta \Leftrightarrow x = \beta + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\ \beta = \arctan a \hfill \\ \end{matrix}

Một số phương trình đặc biệt

Mở rộng phương trình

\tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi

\tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi

\tan x = - 1 \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi

 \begin{matrix} \tan f(x) = \tan g(x) \hfill \\ \Leftrightarrow f(x) = g(x) + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\ \end{matrix}

Ví dụ: Giải phương trình 3\tan \left( {3x + \frac{\pi }{6}} \right) = - 1

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định:

\begin{matrix} \cos \left( {3x + \dfrac{\pi }{6}} \right) \ne 0 \hfill \\ \Leftrightarrow 3x + \dfrac{\pi }{6} \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{k\pi }}{3};\left( {k \notin \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{matrix}

\begin{matrix} PT \Leftrightarrow \tan \left( {3x + \dfrac{\pi }{6}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{3} = \tan t \hfill \\ \Leftrightarrow 3x + \dfrac{\pi }{6} = t + k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{{18}} + \dfrac{t}{3} + \dfrac{{k\pi }}{3};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{matrix}

Câu trắc nghiệm mã số: 2734

5. Phương trình cotx = a

Cho phương trình \cot x = a (4)

+ Với \forall m \Rightarrow \exists \alpha \in \left( {0;\pi } \right),\cot \beta = a

\begin{matrix} (4) \Leftrightarrow \cot x = \cot \beta \Leftrightarrow x = \beta + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\ \beta = \operatorname{arccot} a \hfill \\ \end{matrix}

Một số phương trình đặc biệt

Mở rộng phương trình

\cot x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi (k \in \mathbb{Z})

 

\cot x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})

\cot x = - 1 \Leftrightarrow x = - \pi + k2\pi (k \in \mathbb{Z})

 \begin{matrix} \cot f(x) = \cot g(x) \hfill \\ \Leftrightarrow f(x) = g(x) + k\pi (k \in \mathbb{Z}) \hfill \\ \end{matrix}

Ví dụ: Giải phương trình \cot \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cot \left( { - 2x + \frac{\pi }{6}} \right)?

Hướng dẫn giải

Ta có:

\begin{matrix} \cot \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cot \left( { - 2x + \dfrac{\pi }{6}} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow x + \dfrac{\pi }{3} = - 2x + \dfrac{\pi }{6} + k\pi \hfill \\ \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3};\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \hfill \\ \end{matrix}

Câu trắc nghiệm mã số: 8157
  • 5 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CD