Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Các quy tắc tính đạo hàm Cánh Diều

A. Đạo hàm của một số hàm sơ cấp cơ bản

1. Đạo hàm của hàm số \mathbf{y =}\mathbf{x}^{\mathbf{n}}\mathbf{;}\left( \mathbf{n}\mathbb{\in N}\mathbf{,}\mathbf{n >}\mathbf{1} \right)

  • Hàm số y = x^{n},\left( n \in \mathbb{N}^{*} \right) có đạo hàm trên \mathbb{R} và \left( x^{n} \right)' = n.x^{n - 1}.
  • (x)' = 1;\left( x^{2} \right)' = 2x
  • Đạo hàm của hằng số bằng 0.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x^3 tại điểm (-1;-1).

Hướng dẫn giải

Ta có:

y' = 3{x^2} \Rightarrow y'\left( { - 1} \right) = 3

Phương trình tiếp tuyến là: y = 3\left( {x + 1} \right) - 1 = 3x + 2.

2. Đạo hàm của hàm số \mathbf{y =}\sqrt{\mathbf{x}}

Hàm số y = \sqrt{x} có đạo hàm tại mọi x\in\mathbb{ R},x > 0 và \left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

\begin{matrix} \left( {{x^\alpha }} \right)' = \alpha .{x^{\alpha - 1}};\left( {\alpha \in \mathbb{R};x > 0} \right) \hfill \\ \left( C \right)' = 0,\left( {C = const} \right) \hfill \\ \left( {\dfrac{1}{x}} \right)' = - \dfrac{1}{{{x^2}}},\left( {x \ne 0} \right) \hfill \\ \end{matrix}

3. Đạo hàm của hàm số lượng giác

Công thức đạo hàm hàm lượng giác

\left( \sin x \right)' = \cos x \left( \cos x \right)' = - \sin x
\left( \tan x \right)' =\frac{1}{\cos^{2}x} với x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \left( \cot x \right)' = -\frac{1}{\sin^{2}x} với x \ne k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

Ví dụ: Chứng minh rằng hàm số y = \tan x thỏa mãn hệ thức y' - y^{2} - 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: \left( \tan x \right)' =\frac{1}{\cos^{2}x} với x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)

Khi đó:

y' - y^{2} - 1 = \frac{1}{\cos^{2}x}- \tan^{2}x - 1

= \frac{1}{\cos^{2}x} -\frac{1}{\cos^{2}x} = 0(dpcm)

4. Đạo hàm của hàm số mũ

Công thức đạo hàm hàm số mũ:

  • \left( e^{x} \right)' = e^{x}
  • \left( a^{x} \right)' = a^{x}\ln a với 0 < a \neq 1
Câu trắc nghiệm mã số: 43709,43710,43711

5. Đạo hàm của hàm số lôgarit

Công thức đạo hàm hàm số lôgarit:

  • \left( \ln x \right)' = \frac{1}{x} với x \in (0; + \infty)
  • \left( \log_{a}x \right)' =\frac{1}{x\ln a} với x \in (0; + \infty),0 < a \neq 1
Câu trắc nghiệm mã số: 43723,43722

B. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm hợp

1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử các hàm số f = f(x),g = g(x) có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc khoảng xác định. Khi đó:

(f + g)' = f' + g' (f - g)' = f' - g'
(f.g)' = f'.g + f.g' \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - f.g'}{g^{2}};\left( g = g(x) \neq 0 \right)

Chú ý: Cho hàm số f = f(x) là hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định:

  • Với C là hằng số thì (C.f)' = C.f'
  • Với \left( \frac{1}{f} \right)' = - \frac{f'}{f^{2}};\left( f = f(x) \neq 0 \right)

Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số:

a) y = \frac{2}{x} b) y = \frac{x + 2}{2x - 1}
c) y = \frac{\sqrt{x}}{x + 1} d) y = \frac{1 + x - x^{2}}{1 - x + x^{2}}

Hướng dẫn giải

a) y = \frac{2}{x} \Rightarrow y' = \frac{- 2}{x^{2}}

b) y = \frac{x + 2}{2x - 1}

\Rightarrow y' = \frac{(x + 2)'(2x - 1) - (2x - 1)'(x + 2)}{(2x - 1)^{2}}

= \frac{2x - 1 - 2(x + 2)}{(2x - 1)^{2}} = \frac{5}{(2x - 1)^{2}}

c) y = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}

\Rightarrow y' = \frac{\left( \sqrt{x} \right)'(x + 1) - (x + 1)'.\sqrt{x}}{(x + 1)^{2}}

= \dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.(x + 1) -\sqrt{x}}{(x + 1)^{2}} = \frac{1 - x}{2\sqrt{x}(x + 1)^{2}}

d) y = \frac{1 + x - x^{2}}{1 - x + x^{2}} = \frac{2}{1 - x + x^{2}} - 1

\Rightarrow y' = - \frac{2( - 1 + 2x)}{\left( 1 - x + x^{2} \right)^{2}} = \frac{2(1 - 2x)}{\left( 1 - x + x^{2} \right)^{2}}

Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số:

a) y = 5\sin x - 3\cos x b) y = \tan x + \cot x c) y = x.e^{x}

Hướng dẫn giải

a) y = 5\sin x - 3\cos x

\Rightarrow y' = 5\cos x +3\sin x

b) y = \tan x + \cot x

\Rightarrow y' = \frac{1}{\cos^{2}x}+ \frac{1}{\sin^{2}x} = \frac{\sin^{2}x +\cos^{2}x}{\sin^{2}x.\cos^{2}x}

= \dfrac{1}{\dfrac{1}{4}\sin^{2}2x} =\frac{4}{\sin^{2}2x}

c) y = x.e^{x} \Rightarrow y' = x'\left( e^{x} \right) + x.\left( e^{x} \right)' = e^{x} + x.e^{x}

Câu trắc nghiệm mã số: 43733,43746,43688

2. Đạo hàm của hàm hợp

Hàm số f = f\left( g(x) \right) được gọi là hàm hợp của hai hàm số f = f(u),u = g(x).

Các quy tắc tính đạo hàm Cánh Diều

Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số:

a) y = \sin\left( x^{2} - 3x + 2 \right) b) y = 2^{x^{2} + 2}
c) y = e^{x^{2} - 2}.\cos x d) y = \ln\left( x^{2} + \sqrt{x^{2} + 1} \right)

Hướng dẫn giải

a) y = \sin\left( x^{2} - 3x + 2 \right)

\Rightarrow y' = \left( x^{2} - 3x +2 \right)'.\cos\left( x^{2} - 3x + 2 \right)

= (2x - 3).\cos\left( x^{2} - 3x + 2\right)

b) y = 2^{x^{2} + 2}

\Rightarrow y' = \left( x^{2} + 2\right)'.2^{x^{2} + 2}.\ln2

= 2x.2^{x^{2} + 2}.\ln2 = x.2^{x^{2} +3}.\ln2

c) y = e^{x^{2} - 2}.\cos x

\Rightarrow y' = \left( e^{x^{2} -2} \right)'.\cos x + e^{x^{2} - 2}.\left( \cos x\right)'

= 2x.e^{x^{2} - 2}.\cos x - e^{x^{2} -2}.\sin x

= e^{x^{2} - 2}.\left( 2x.\cos x - \sin x\right)

d) y = \ln\left( x^{2} + \sqrt{x^{2} + 1} \right)

\Rightarrow y' = \frac{\left( x^{2} + \sqrt{x^{2} + 1} \right)'}{x^{2} + \sqrt{x^{2} + 1}}

= \dfrac{2x + \dfrac{\left( x^{2} + 2\right)'}{2\sqrt{x^{2} + 1}}}{x^{2} + \sqrt{x^{2} + 1}} = \dfrac{2x +\dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}}{x^{2} + \sqrt{x^{2} + 1}}

= \frac{x\left( 2\sqrt{x^{2} + 1} + 1 \right)}{\left( x^{2} + \sqrt{x^{2} + 1} \right)\sqrt{x^{2} + 1}}

Câu trắc nghiệm mã số: 43618,43613,43727
  • 1 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CD