Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Cánh Diều

A. Đạo hàm tại một điểm

1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

a) Bài toán tìm vận tốc tức thời

Một chất điểm chuyển động có phương trình s = s(x).

Khi đó vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm x_{0} là giới hạn của tỉ số \frac{s(x) - s\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} khi x \rightarrow x_{0}. Hay nói cách khác:

v\left( x_{0} \right) = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{s(x) - s\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}}

Giá trị của v\left( x_{0} \right) là đạo hàm của hàm số s = s(x) tại x_{0}.

b) Bài toán tìm cường độ tức thời

Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là hàm số của thời gian t, Q = Q(t).

Khi đó cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t_{0} là giới hạn của tỉ số \frac{Q(t) - Q\left( t_{0} \right)}{t - t_{0}} khi t \rightarrow t_{0}. Hay nói cách khác:

I\left( t_{0} \right) = \lim_{t \rightarrow t_{0}}\frac{Q(t) - Q\left( t_{0} \right)}{t - t_{0}}

Giá trị của I\left( x_{0} \right) là đạo hàm của hàm số Q = Q(t) tại t_{0}.

2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và điểm x_{0} \in (a;b).

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x_{0}.

Kí hiệu: f'\left( x_{0} \right) hoặc y'\left( x_{0} \right).

Nhận xét:

  • \Delta x = x - x_{0} gọi là số gia của biến số tại điểm x_{0}.
  • \Delta y = f\left( x_{0} + \Delta x \right) - f\left( x_{0} \right) gọi là số gia của hàm số ứng với số gia \Delta x tại điểm x_{0}. Khi đó:

f'\left( x_{0} \right) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f\left( x_{0} + \Delta x \right) - f\left( x_{0} \right)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}

3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Các bước tính đạo hàm f'\left( x_{0} \right) của hàm số y = f(x) tại x_{0}:

Bước 1: Xét \Delta x là số gia của biến số tại x_{0}. Tính \Delta y = f\left( x_{0} + \Delta x \right) - f\left( x_{0} \right).

Bước 2: Rút gọn tỉ số \frac{\Delta y}{\Delta x}.

Bước 3: Tính \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}.

Bước 4: Nếu \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = a thì f'\left( x_{0} \right) = a.

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = \frac{1}{x^{2} + x + 1} tại x_{0} = - 2.

Hướng dẫn giải

Tại x_{0} = - 2 ta có:

f(x) - f\left( x_{0} \right) = f(x) - f( - 2)

= \frac{1}{x^{2} + x + 1} - \frac{1}{4 - 2 + 1}

= \frac{1}{3}.\frac{3 - x^{2} - x - 1}{x^{2} + x + 1} = \frac{1}{3}.\frac{- x^{2} - x + 2}{x^{2} + x + 1}

= \frac{1}{3}.\frac{(x - 1)(x + 2)}{x^{2} + x + 1}

\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \frac{f(x) - f( - 2)}{x + 2}

= \frac{1}{3}.\frac{(x - 1)(x + 2)}{x^{2} + x + 1}.\frac{1}{x + 2}

= - \frac{1}{3}.\frac{x - 1}{x^{2} + x + 1}

\Rightarrow f'( - 2) = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}}

= \lim_{x \rightarrow - 2}\left\lbrack - \frac{1}{3}.\frac{x - 1}{x^{2} + x + 1} \right\rbrack

= - \frac{1}{3}.\frac{- 2 - 1}{( - 2)^{2} - 2 + 1} = \frac{1}{3}

Vậy f'( - 2) = \frac{1}{3}.

Câu trắc nghiệm mã số: 43587,9727

Chú ý: Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = x^{3} - 2x.

Hướng dẫn giải

Tại x_{0}\mathbb{\in R} tùy ý ta có:

f(x) - f\left( x_{0} \right) = x^{3} - 2x - {x_{0}}^{3} + 2x_{0}

= \left( x - x_{0} \right)\left( x^{2} + x.x_{0} + {x_{0}}^{2} - 2 \right)

\Rightarrow \frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \frac{\left( x - x_{0} \right)\left( x^{2} + x.x_{0} + {x_{0}}^{2} - 2 \right)}{x - x_{0}}

= x^{2} + x.x_{0} + {x_{0}}^{2} - 2

\Rightarrow \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\left( x^{2} + x.x_{0} + {x_{0}}^{2} - 2 \right)

= 3{x_{0}}^{2} - 2

Vậy y' = 3x^{2} - 2

4. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t) (là hàm số có đạo hàm)

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t_{0} là đạo hàm của hàm số tại t_{0} : v\left( t_{0} \right) = s'\left( t_{0} \right).

Ví dụ: Một chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều với phương trình s(t) = 2t^{2} + t - 1(m).

a) Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 2s.

b) Tính vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian từ t = 0s đến t = 2s.

Hướng dẫn giải

Ta có: v(t) = s'(t) = 4t + 1

a) Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 2s là: v(2) = 4.2 + 1 = 9(m/s)

b) Trong khoảng thời gian từ t = 0s đến t = 2s chất điểm di chuyển được quãng đường là:

\Delta s = 4.2 + 2 - 1 = 9(m)

Suy ra vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian 2s kể từ t = 0s là:

\overline{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{9 - 0}{2 - 0} = 4,5(m/s)

B. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

  • Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x_{0} là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M_{0}\left( x_{0};f\left( x_{0} \right) \right).
  • Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f\left( x_{0} \right) tại điểm M_{0}\left( x_{0};f\left( x_{0} \right) \right) là:

y = f'\left( x_{0} \right)\left( x - x_{0} \right) + f\left( x_{0} \right)

Ví dụ: Cho hàm số y = x^{2} + 2x - 4 có đồ thị (C)

a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến (C) tại điểm có hoành độ x_{0} = 1 thuộc (C).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x_{0} = 0 thuộc (C).

Hướng dẫn giải

Tại x_{0}\mathbb{\in R} ta có:

f(x) - f\left( x_{0} \right) = x^{2} + 2x - 4 - {x_{0}}^{2} - 2x_{0} + 4

= \left( x - x_{0} \right)\left( x + x_{0} + 2 \right)

\Rightarrow \frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \frac{\left( x - x_{0} \right)\left( x + x_{0} + 2 \right)}{x - x_{0}}

= x + x_{0} + 2

\Rightarrow \lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x) - f\left( x_{0} \right)}{x - x_{0}} = \lim_{x \rightarrow x_{0}}\left( x + x_{0} + 2 \right) = 2x_{0} + 2

\Rightarrow y' = 2x + 2

a) Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x_{0} = 1 là:

k = y'(1) = 4

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x_{0} = 0 thuộc (C) là:

y = y'(0)(x - 0) + y(0)

\Leftrightarrow y = 2x - 4

Câu trắc nghiệm mã số: 43678,43677
  • 8 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CD