Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Hàm số lượng giác và đồ thị Cánh Diều

1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số y=f(x) có tập xác định D.

  • Hàm số f\left( x \right) được gọi là hàm số chẵn nếu \forall x \in D thì \left\{ \begin{gathered} - x \in D \hfill \\ f\left( { - x} \right) = f\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.
  • Hàm số f\left( x \right) được gọi là hàm số lẻ nếu \forall x \in D thì \left\{ \begin{gathered} - x \in D \hfill \\ f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.

Chú ý:

  • Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
  • Đồ thị của một hàm số lẻ nhận trục hoành làm trục đối xứng.

b) Hàm số tuần hoàn

Định nghĩa:  Hàm số có tập xác định được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một số T \ne 0 sao cho với mọi x \in D ta có:

  • \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x - T \in D} \\ {x + T \in D} \end{array}} \right.
  • f\left( {x + T} \right) = f\left( x \right)

Chú ý: Cho hàm số tuần hoàn chu kì T. Từ đồ thị hàm số đó trên đoạn [a; a + T], ta dịch chuyển song song với trục hoành sang phải (hoặc sang trái) theo đoạn có độ dài T thì được đồ thị hàm số trên đoạn [a + T; a + 2T] (hoặc [a - T; a]).

2. Hàm số y = sinx

a) Định nghĩa

  • Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực \sin x được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = \sin x.
  • Tập xác định của hàm số sin là \mathbb{R}.

b) Đồ thị hàm số và tính chất

Hàm số y = \sin x

- Tập xác định: D = \mathbb{R}

- Tập giá trị [-1; 1] hay - 1 \leqslant \operatorname{sinx} \leqslant 1,\forall x \in \mathbb{R}

- Hàm số là hàm số lẻ tuần hoàn với chu kì T = 2\pi

- Đồng biến trên mỗi khoảng \left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right) và nghịch biến trên mỗi khoảng \left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right), k \in \mathbb{Z}

- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

Đồ thị hàm số y = \sin x

Hàm số lượng giác và đồ thị Cánh Diều

Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = 2x\sin x.

Hướng dẫn giải

Tập xác định D = \mathbb{R} là tập đối xứng do đó \forall x \in D \Rightarrow - x \in D\left( * \right)

Đặt y = f\left( x \right) = 2x.\sin x

Với \forall x \in D ta có:

f\left( { - x} \right) = 2\left( { - x} \right).\sin \left( { - x} \right) = 2x.\sin x = f\left( x \right)\left( {**} \right)

Từ (*) và (**) suy ra hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Câu trắc nghiệm mã số: 8531

3. Hàm số y = cosx

a) Định nghĩa

  • Quy tắc đặt tương ứng với mỗi số thực x với số thực \cos x được gọi là hàm số cosin, kí hiệu là y = \cos x.
  • Tập xác định của hàm số cos là \mathbb{R}.

b) Đồ thị hàm số và tính chất

Hàm số y = \cos x

- Tập xác định: D = \mathbb{R}

- Tập giá trị [-1; 1] hay - 1 \leqslant \operatorname{cosx} \leqslant 1,\forall x \in \mathbb{R}

- Hàm số là hàm chẵn tuần hoàn với chu kì T = 2\pi

- Đồng biến trên mỗi khoảng \left( { - \pi + k2\pi ;k2\pi } \right) và nghịch biến trên mỗi khoảng \left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right), k \in \mathbb{Z}

- Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

Đồ thị hàm số y = \cos x

Hàm số lượng giác và đồ thị Cánh Diều

Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) = \frac{\cos x + x^{2} -1}{\sin^{4}x}

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là D = \mathbb{R}\setminus \{ k\pi,k \in \mathbb{Z}\}

\forall x \in D \Rightarrow - x \in D

f( - x) = \frac{\cos( - x) + ( - x)^{2} -1}{\sin^{4}( - x)}= \frac{cosx + x^{2} - 1}{\sin^{4}x} = f(x),\forall x \in D

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Câu trắc nghiệm mã số: 2524

4. Hàm số y = tanx

a) Định nghĩa

Hàm số được cho bằng công thức y = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = \tan x.

Tập xác định của hàm số tang là \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số y = \tan\left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) 

Hướng dẫn giải

Xét \cos\left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) \neq 0

\Rightarrow 2x + \frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi

\Rightarrow x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2},\left( k\mathbb{\in Z} \right)

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = \left\{ \mathbb{R}\backslash\frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2},\left( k\mathbb{\in Z} \right) \right\}

b) Đồ thị hàm số và tính chất

Hàm số y = \tan x

- Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}

- Tập giá trị: \mathbb{R}

- Hàm số là hàm lẻ tuần hoàn với chu kì T = \pi

- Đồng biến trên mỗi khoảng \left( { - \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)

- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Đồ thị hàm số y = \tan x

Hàm số lượng giác và đồ thị Cánh Diều

5. Hàm số y = cotx

a) Định nghĩa

Hàm số được cho bằng công thức y = \frac{{\cos x}}{{\sin x}} được gọi là hàm số cotang, kí hiệu là y = \cot x.

Tập xác định của hàm số cotang là \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.

Ví dụ: Tìm tập xác định của hàm số  y = \cot\left( - 2x - \frac{\pi}{3} \right) 

Hướng dẫn giải

Xét \sin\left( - 2x - \frac{\pi}{3} \right) \neq 0

\Rightarrow - 2x - \frac{\pi}{3} \neq k\pi

\Rightarrow x \neq - \frac{\pi}{6} -\frac{k\pi}{2};\left( k\in\mathbb{ Z} \right)

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D =\left\{ \mathbb{R}\backslash - \frac{\pi}{6} - \frac{k\pi}{2},\left(k\in\mathbb{ Z} \right) \right\}

Câu trắc nghiệm mã số: 8759

b) Đồ thị hàm số và tính chất

Hàm số y = \cot x

- Tập xác định: D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}

- Tập giá trị: \mathbb{R}

- Hàm số là hàm lẻ tuần hoàn với chu kì T = \pi

- Nghịch biến trên mỗi khoảng \left( {k\pi ;\pi + k\pi } \right),k \in \mathbb{Z}

- Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Đồ thị hàm số y = \cot x

Hàm số lượng giác và đồ thị Cánh Diều

Câu trắc nghiệm mã số: 8766
  • 24 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CD