Cho hàm số xác định trên khoảng
và
. Hàm số
được gọi là liên tục tại
nếu
.
Nhận xét: Hàm số không liên tục tại
được gọi là gián đoạn tại
.
Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số tại
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy hàm số không liên tục tại .
Chú ý: Khái niệm hàm số liên tục trên các tập hợp có dạng được định nghĩa tương tự.
Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.
Hướng dẫn giải
Tập xác định
Ta có:
Nếu thì
.
Vì là thương của hai đa thức, đồng thời mẫu số
nên
liên tục trên các khoảng
(*)
Nếu ta có
và
Vì nên hàm số liên tục tại điểm
(**)
Từ (*) và (**) suy ra liên tục trên
.
Giả sử và
là hai hàm số liên tục tại điểm
. Khi đó:
a) Các hàm số ,
và
liên tục tại điểm
.
b) Hàm số liên tục tại điểm
nếu
.
Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số tại
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy hàm số không liên tục tại .
Chú ý: Nếu hàm số liên tục trên đoạn
và
thì tồn tại ít nhất một điểm
sao cho
.
Ví dụ: Chứng minh phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng
.
Hướng dẫn giải
Đặt
Hàm số liên tục trên
nên liên tục trên
.
Ta có:
Vì nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
.
Vì nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
.
Mà và
là hai khoảng phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng .