Lớp 11 Toán 11 - Cánh Diều

Hàm số liên tục Cánh Diều

A. Khái niệm hàm số liên tục

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a,b) và x_{0} \in (a;b) . Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x_{0} nếu \lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) = f\left( x_{0} \right).

Nhận xét: Hàm số y = f(x) không liên tục tại x_{0} được gọi là gián đoạn tại x_{0}.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = \left\{ \begin{matrix} x^{4} + x^{2} - 1\ \ \ khi\ x \leq - 1 \\ 3x + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ khi\ x > - 1 \\ \end{matrix} \right. tại x_{0} = - 1.

Hướng dẫn giải

Ta có: \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \left( {{x^4} + {x^2} - 1} \right) = 1 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left( {3x + 2} \right) = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.

Vậy hàm số không liên tục tại x_{0} = - 1.

Câu trắc nghiệm mã số: 34103

2. Hàm số liên tục trên một khoảng hoặc một đoạn

  • Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
  • Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn \lbrack a;b\rbrack nếu hàm số đó liên tục trên khoảng (a;b) và \left\{ \begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right) \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right) \hfill \\ \end{gathered} \right..

Chú ý: Khái niệm hàm số liên tục trên các tập hợp có dạng (a;b\rbrack,\lbrack a;b),(a; +\infty),\lbrack a; + \infty);( - \infty;a),( - \infty;a\rbrack,( -\infty; + \infty) được định nghĩa tương tự.

Câu trắc nghiệm mã số: 9614

B. Một số định lí cơ bản

1. Tính liên tục của một số hàm sơ cấp cơ bản

  • Các hàm đa thức và hai hàm số lượng giác y = \sin x,y = \cos x liên tục trên \mathbb{R}.
  • Các hàm phân thức hữu tỉ và hai hàm số lượng giác y = \tan x,y = \cot x liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
  • Hàm căn thức y = \sqrt{x} liên tục trên nửa khoảng \lbrack 0; + \infty).

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 3}}{\text{ khi }}x \ne 3 \hfill \\ 4{\text{ khi }}x = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. trên tập xác định của nó.

Hướng dẫn giải

Tập xác định D=\mathbb{ R}

Ta có:

Nếu x \neq 3 thì f(x) = \frac{x^{2} - 2x - 3}{x - 3}.

Vì f(x) là thương của hai đa thức, đồng thời mẫu số x - 3 \neq 0 nên f(x) liên tục trên các khoảng ( - \infty;3),(3; + \infty) (*)

Nếu x = 3 ta có f(3) = 4 và \lim_{x \rightarrow 3}f(x) = \lim_{x \rightarrow 3}\frac{x^{2} - 2x - 3}{x - 3}= \lim_{x \rightarrow 3}\frac{(x + 1)(x - 3)}{x - 3} = \lim_{x \rightarrow 3}(x + 1) = 4

Vì \lim_{x \rightarrow 3}f(x) = f(3) = 4 nên hàm số liên tục tại điểm x_{0} = 3 (**)

Từ (*) và (**) suy ra f(x) liên tục trên \mathbb{R}.

Câu trắc nghiệm mã số: 9648

2. Tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục

Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x_{0} . Khi đó:

a) Các hàm số y = f(x) + g(x) , y = f(x) - g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại điểm x_{0}.

b) Hàm số y = \frac{f(x)}{g(x)} liên tục tại điểm x_{0} nếu g\left( x_{0} \right) \neq 0.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số f\left( x \right) = \left\{ \begin{gathered} \dfrac{{\sqrt[3]{{3x + 2}} - 2}}{{x - 2}}{\text{ khi }}x \ne 2 \hfill \\ \dfrac{3}{4}{\text{ khi }}x = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. tại x_{0} = 2.

Hướng dẫn giải

Ta có:

\lim_{x \rightarrow 2}\frac{\sqrt[3]{3x + 2} - 2}{x - 2}

= \lim_{x \rightarrow 2}\frac{\left( \sqrt[3]{3x + 2} - 2 \right)\left( \sqrt[3]{(3x + 2)^{2}} + 2\sqrt[3]{3x + 2} + 2x^{2} \right)}{(x - 2)\left( \sqrt[3]{(3x + 2)^{2}} + 2\sqrt[3]{3x + 2} + 2x^{2} \right)}

= \lim_{x \rightarrow 2}\frac{3x - 6}{(x - 2)\left( \sqrt[3]{(3x + 2)^{2}} + 2\sqrt[3]{3x + 2} + 2x^{2} \right)}

= \lim_{x \rightarrow 2}\frac{3}{\sqrt[3]{(3x + 2)^{2}} + 2\sqrt[3]{3x + 2} + 2x^{2}}

= \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \neq \frac{3}{4} = f(2)

Vậy hàm số không liên tục tại x_{0} = 2.

Câu trắc nghiệm mã số: 21078

Chú ý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \lbrack a;b\rbrack và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c \in (a;b) sao cho f(c) = 0.

Ví dụ: Chứng minh phương trình 4x^{4} + 2x^{2} - x - 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng ( - 1;1).

Hướng dẫn giải

Đặt f(x) = 4x^{4} + 2x^{2} - x - 3

Hàm số f(x) = 4x^{4} + 2x^{2} - x - 3 liên tục trên \mathbb{R} nên liên tục trên \lbrack - 1;0\rbrack,\lbrack 0;1\rbrack.

Ta có:

f( - 1) = 4,f(0) = - 3,f(1) = 2

Vì f( - 1).f(0) < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( - 1;0).

Vì f(0).f(1) < 0 nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;1).

Mà ( - 1;0) và (0;1) là hai khoảng phân biệt.

Vậy phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng ( - 1;1).

Câu trắc nghiệm mã số: 9646
  • 2 lượt xem

Nội dung cùng chủ đề

Sắp xếp theo
🖼️
Xóa Gửi bình luận

Toán 11 CD