Hai đường thẳng song song trong không gian Cánh Diều

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt

Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa $a$ và $b$ . Khi đó ta nói $a$ và $b$ đồng phẳng.

Nếu $a$ và $b$ có một điểm chung duy nhất, ta nói $a$ và $b$ cắt nhau tại I. Kí hiệu là $a \cap b = I$ .

Hai đường thẳng song song trong không gian Cánh Diều

Nếu $a$ và $b$ không có điểm chung thì ta nói $a$ và $b$ song song với nhau. Kí hiệu là $a//b$ .

Hai đường thẳng song song trong không gian Cánh Diều

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trên một mặt phẳng và không có điểm chung.

Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa $a$ và $b$ . Khi đó ta nói $a$ và $b$ chéo nhau hay $a$ chéo với b.

Hai đường thẳng song song trong không gian Cánh Diều

Nhận xét: Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó. Kí hiệu là $mp(a;b)$ .

2. Tính chất

Định lí 1

Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Minh họa

Hai đường thẳng song song trong không gian Cánh Diều

Ví dụ: Cho bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng. Gọi $H, K$ lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC$ và tam giác $ABD$ . Chứng minh $HK // CD$ .

Hướng dẫn giải

Hình vẽ minh họa

Hai đường thẳng song song trong không gian Cánh Diều

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ .

Xét tam giác $ABC$ có $H$ là trọng tâm

=> $\frac{MH}{MC} = \frac{1}{3}$

Xét tam giác $ABD$ có $K$ là trọng tâm

=> $\frac{MJ}{MD} = \frac{1}{3}$

Do $\frac{MH}{MC} = \frac{MJ}{MD} =\frac{1}{3}$ nên $HK//CD$ (theo định lí Thales)

Định lí 2 (giao tuyến của ba mặt phẳng)

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy, hoặc đôi một song song với nhau.

Hệ quả

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Minh họa

Hai đường thẳng song song trong không gian Cánh Diều

Định lí 3

Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Ví dụ: Cho hình thang $ABCD$ và $AD//BC,AD = 3BC$ . Lấy điểm $S$ bất kì, $S \notin (ABCD)$ . Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC$ , $G$ là trọng tâm tam giác $(SAD)$ . Khi đó giao tuyến được tạo bởi mặt phẳng $(GMN)$ với các mặt của $S.ABCD$ là hình gì?